[Controlli Automatici] Calcolo del guadagno e scelta rete
Ho questa funzione:
\(\displaystyle G(s)=\frac{2.5}{s(1+s)(1+0.1s)} \) già nella forma con costanti di tempo
Io vorrei costruire il grafico di bode, ma ho un piccolo problema... Il polo in 0 durante la costruzione non riesco a piazzarlo correttamente... Dovrei costruire una retta con -20dB/decade passante per guadagno espresso in dB... Io allora utilizzo la formula per calcolare questo guadagno per sistemi di tipo 1(h=1):
\(\displaystyle \frac{k}{\omega^h} \ = \frac{2.5}{1^1}=7.96 dB \)
Però volendo calcolare il modulo e la fase in quel punto, io utilizzerei questo passaggio:
\(\displaystyle \frac{2.5}{j(1+j)(1+0.1j)}=\frac{2.5}{e^{j1.571}\sqrt{2}e^{j0.785}\sqrt{1.01}e^{0.1}}=1.76e^{-j2.456} \)
Di solito avrei preso quel 1.76 come valore del guadagno, che però è diverso dal 2.5 calcolato precedentemente... Dove sbaglio?
Seconda domada:problema sulle reti correttrici... Non sono mai sicuro di aver scelto la rete giusta, fra anticipatrice e ritardatrice... Come posso regolarmi correttamente avendo ad esempio assegnato da progetto il solo margine di fase?
Grazie
\(\displaystyle G(s)=\frac{2.5}{s(1+s)(1+0.1s)} \) già nella forma con costanti di tempo
Io vorrei costruire il grafico di bode, ma ho un piccolo problema... Il polo in 0 durante la costruzione non riesco a piazzarlo correttamente... Dovrei costruire una retta con -20dB/decade passante per guadagno espresso in dB... Io allora utilizzo la formula per calcolare questo guadagno per sistemi di tipo 1(h=1):
\(\displaystyle \frac{k}{\omega^h} \ = \frac{2.5}{1^1}=7.96 dB \)
Però volendo calcolare il modulo e la fase in quel punto, io utilizzerei questo passaggio:
\(\displaystyle \frac{2.5}{j(1+j)(1+0.1j)}=\frac{2.5}{e^{j1.571}\sqrt{2}e^{j0.785}\sqrt{1.01}e^{0.1}}=1.76e^{-j2.456} \)
Di solito avrei preso quel 1.76 come valore del guadagno, che però è diverso dal 2.5 calcolato precedentemente... Dove sbaglio?
Seconda domada:problema sulle reti correttrici... Non sono mai sicuro di aver scelto la rete giusta, fra anticipatrice e ritardatrice... Come posso regolarmi correttamente avendo ad esempio assegnato da progetto il solo margine di fase?
Grazie
Risposte
La prima relazione, sono onesto, non l'ho mai vista e mi domando da dove esca.
Per quanto riguarda la seconda relazione, è corretta nel senso che il diagramma dei moduli, quando $omega=1 (rad)/s$ vale circa $4.86 dB ~= 1.76$.
Nel caso dei poli nell'origine, non esiste finito un guadagno statico; infatti, volendo generalizzare, si ha:
$ W(s)=1/s^h(prod_(z = 1)^(n)(1+stau_z))/ (prod_(p = 1)^(n)(1+stau_p)) $
il guadagno statico, per definizione, è la quantità:
$ lim_(s -> 0)1/s^h(prod_(z = 1)^(n)(1+stau_z))/ (prod_(p = 1)^(n)(1+stau_p))=+oo $
Il mio consiglio, in questi casi, è quello di costruire il diagramma per pezzi ( sfruttando ovviamente le proprietà dei logaritimi ) e cioè di disegnare i diagrammi di tutti i termini che compaiono ( nel tuo caso: un termine monomio e due termini binomi ) e sommare il risultato; così non sbagli mai
Per quanto riguarda le reti correttrici, non posso aiutarti senza un esempio
Per quanto riguarda la seconda relazione, è corretta nel senso che il diagramma dei moduli, quando $omega=1 (rad)/s$ vale circa $4.86 dB ~= 1.76$.
Nel caso dei poli nell'origine, non esiste finito un guadagno statico; infatti, volendo generalizzare, si ha:
$ W(s)=1/s^h(prod_(z = 1)^(n)(1+stau_z))/ (prod_(p = 1)^(n)(1+stau_p)) $
il guadagno statico, per definizione, è la quantità:
$ lim_(s -> 0)1/s^h(prod_(z = 1)^(n)(1+stau_z))/ (prod_(p = 1)^(n)(1+stau_p))=+oo $
Il mio consiglio, in questi casi, è quello di costruire il diagramma per pezzi ( sfruttando ovviamente le proprietà dei logaritimi ) e cioè di disegnare i diagrammi di tutti i termini che compaiono ( nel tuo caso: un termine monomio e due termini binomi ) e sommare il risultato; così non sbagli mai
Per quanto riguarda le reti correttrici, non posso aiutarti senza un esempio
E' un esercizio di una prof... Metto uno screen dell'esercizio:
Come vedi qui parte da 7.96 per i primi -20dB/decade della s presente a denominatore... Io avrei fatto come te, ma l'esercizio è così e non riesco a capire...
Per la seconda parte... Generalizzando ancora di più, come faccio a decidere se utilizzare una correttrice o una ritardatrice?
Come vedi qui parte da 7.96 per i primi -20dB/decade della s presente a denominatore... Io avrei fatto come te, ma l'esercizio è così e non riesco a capire...
Per la seconda parte... Generalizzando ancora di più, come faccio a decidere se utilizzare una correttrice o una ritardatrice?
Io mi trovo, però, con quello che ha fatto il tuo prof; il punto è che non mi trovo con te quando vuoi calcolarti il guadagno statico ( tra l'altro se vedi bene il tuo prof ha fatto come ti ho suggerito io scomponendo per pezzi la funzione ).
Per quanto riguarda le reti correttrici ( che possono essere o anticipatrici o ritardatrici ) dipende da cosa ti serve; in generale, se per una determinata pulsazione devi:
1) ridurre il modulo ed abbassare la fase, allora ricorri ad una rete ritardatrice ( detta anche attenuatrice );
2) aumentare il modulo e alzare la fase, allora ricorri ad una rete anticipatrice
Per quanto riguarda le reti correttrici ( che possono essere o anticipatrici o ritardatrici ) dipende da cosa ti serve; in generale, se per una determinata pulsazione devi:
1) ridurre il modulo ed abbassare la fase, allora ricorri ad una rete ritardatrice ( detta anche attenuatrice );
2) aumentare il modulo e alzare la fase, allora ricorri ad una rete anticipatrice
Scusa come ti trovi??? A te così come a me viene 1.76... Alla prof viene 2.5... C'è una differenza notevole...
Si scusami, mi so confuso io: volevo dire che mi trovo con te che viene 1.76 circa per $omega=1(rad)/s$, ma che non mi trovo con te quando ti calcoli il guadagno statico.
Forse la prof ha commesso un errore di calcolo
Forse la prof ha commesso un errore di calcolo
Non sono sicuro si chiami guadagno statico, che mi pare si possa chiamare così solo nel caso di sistemi tipo 0... Io non capisco quella formula e quel valore...
Comunque, per convincerti che non hai sbagliato tu, questi sono i diagrammi di Bode ( fatti con Matlab )
Come vedi, per $omega=1 (rad)/s$ il modulo vale $4.91 dB=1.76$
Come vedi, per $omega=1 (rad)/s$ il modulo vale $4.91 dB=1.76$
Qui, per avere un margine di fase di 60° ad un pulsazione di 20 rad/s, che rete useresti?
Prima di rispondere a questa domanda, rispondi alla mia: sono specifiche che ti hai deciso tu o che ha assegnato la tua prof?
Scusa, niente pulsazione... Mi da solo il margine di fase...
Cioè fammi capire: devi realizzare una rete di modo che il sistema abbia un margine di fase di $60°$ ad una qualunque pulsazione scelta da te?
Lasciamo perdere questo esercizio che è meglio... E' scritto a pennarello, si capisce poco... Comunque avrei 3 specifiche, l'errore a regime nullo, errore a regime in risposta alla rampa unitaria uguale a 0.4 e margine di fase di 60°... Questi sono i parametri... Io non ho capito che fa... Trova una pulsazione di incrocio inferiore a 2 rad/s, poi dice che è realizzabile la rete anticipatrice nell'intervallo [2,6], quindi sceglie 4...
Se parla di errore a regime mi fa pensare che il sistema sia retroazionato ed a questo punto cambiano le cose.
Cerca di capire bene la traccia e magari ne riparliamo
Cerca di capire bene la traccia e magari ne riparliamo
Si il sistema è retroazionato, ma non penso cambi qualcosa...
Ti conviene postare la traccia completa dell'esercizio
Non volevo metterla perchè si vede malissimo, però si capisce più o meno...
\(\displaystyle G(s) = \frac{200}{s(s+1)(s+10)} \)
Errore a regime nullo nella risposta a gradino verificato perchè abbiamo un polo nell'origine
errore a regime alla rampa unitaria pari a 0.4
Margine di fase Mf = 60°
\(\displaystyle G(s) = \frac{200}{s(s+1)(s+10)} \)
Errore a regime nullo nella risposta a gradino verificato perchè abbiamo un polo nell'origine
errore a regime alla rampa unitaria pari a 0.4
Margine di fase Mf = 60°
Per fortuna che hai postato l'esercizio per intero.
Detto questo, ho notato subito una cosa: c'è un errore nel calcolo della fdt; infatti a me la costante del controllore ( necessaria per ottenere un errore a regime di $0.4$ ) viene $k=0.125$. Quindi, quando si calcola la fdt a ciclo aperto viene:
$ F(s)=G_c(s)G(s)=0.125*200/(s(s+1)(s+10))=25/(s(s+1)(s+10)) $
e non $2.5$ come indicato nella soluzione del prof.
Controlla questo calcolo pure tu e poi proseguiamo con la rete correttrice
Detto questo, ho notato subito una cosa: c'è un errore nel calcolo della fdt; infatti a me la costante del controllore ( necessaria per ottenere un errore a regime di $0.4$ ) viene $k=0.125$. Quindi, quando si calcola la fdt a ciclo aperto viene:
$ F(s)=G_c(s)G(s)=0.125*200/(s(s+1)(s+10))=25/(s(s+1)(s+10)) $
e non $2.5$ come indicato nella soluzione del prof.
Controlla questo calcolo pure tu e poi proseguiamo con la rete correttrice
Viene il 2.5 se lo metti nella forma delle costanti di tempo, in pratica tirando fuori da $s+10$ il fattore 10 e riscrivendo $10(1+0.1s)$...
Ok, poichè preferisco lasciarlo in termini di zero e poli ( è una mia scelta ), ci troviamo. ok?
Ora dobbiamo scegliere una rete correttrice che ci garantisca un margine di fase di $60°$, con una pulsazione che possiamo scegliere noi ( visto che non viene specificata )
Se osserviamo i diagrammi di Bode della $F(s)$
scegliendo $omega_(tau)=0.2(rad)/s$ ( visto che non è specificata ) per ottenere le specifiche dobbiamo scegliere una rete ritardatrice che abbassi il modulo di circa $M=21.8dB$ ed abbassi la fase di circa $phi=18°$.
Impiegando le regole di inversione, viene fuori che:
$ { ( tau=183.67 ),( alpha=0.0766 ):} rArr C_(rit)=(1+14.07s)/(1+183.67s) $
Rifacendo i diagrammi di Bode della $F(s)$ ( completa della rete ritardatrice ):
abbiamo risolto l'esercizio ( a meno di una leggera approssimazione che può essere sistemata rifacendo i calcoli con più precisione )
Ora dobbiamo scegliere una rete correttrice che ci garantisca un margine di fase di $60°$, con una pulsazione che possiamo scegliere noi ( visto che non viene specificata )
Se osserviamo i diagrammi di Bode della $F(s)$
scegliendo $omega_(tau)=0.2(rad)/s$ ( visto che non è specificata ) per ottenere le specifiche dobbiamo scegliere una rete ritardatrice che abbassi il modulo di circa $M=21.8dB$ ed abbassi la fase di circa $phi=18°$.
Impiegando le regole di inversione, viene fuori che:
$ { ( tau=183.67 ),( alpha=0.0766 ):} rArr C_(rit)=(1+14.07s)/(1+183.67s) $
Rifacendo i diagrammi di Bode della $F(s)$ ( completa della rete ritardatrice ):
abbiamo risolto l'esercizio ( a meno di una leggera approssimazione che può essere sistemata rifacendo i calcoli con più precisione )
Però dobbiamo usare una rete anticipatrice... Non una ritardatrice... E devo capire da dove salta fuori quel 7.96dB che la prof ha...
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