[Controlli Automatici, Automatica] Automatica, criterio di nyquist
buonasera, qualcuno mi può aiutare a finire di svolgere questo esercizio
questo è l esercizio svolto, solo che non riesco a finire l' ultima parte riguardo il criterio di nyquist, su cosa va applicato e come
questo è l esercizio svolto, solo che non riesco a finire l' ultima parte riguardo il criterio di nyquist, su cosa va applicato e come
Risposte
Il criterio va applicato all'intera funzione in anello aperto $G(S)=C(s)*P(s)*H(s)$.
Bisogna disegnare il diagramma di $G(j omega)$ nel piano complesso (aiutandosi con i diagrammi di Bode) e quindi verificare le rotazioni attorno al punto -1 (il punto per il quale il polinomio caratteristico 1+G si annulla) seguendo le indicazioni della teoria.
Ci si aspetta che con il design fatto si ricada nella stabilità, mentre variando il guadagno si raggiungerà il punto in cui si attraversa l'asse reale negativo in -1 e che tipicamente discrimina tra stabilità e instabilità (però è sempre meglio seguire le indicazioni del criterio).
Ovviamente puoi verificare i risultati usando altri metodi (es. Routh).
Nota: non ho controllato tutti i conti che hai fatto. Da un'occhiata rapida mi sembrano impostati correttamente.
Bisogna disegnare il diagramma di $G(j omega)$ nel piano complesso (aiutandosi con i diagrammi di Bode) e quindi verificare le rotazioni attorno al punto -1 (il punto per il quale il polinomio caratteristico 1+G si annulla) seguendo le indicazioni della teoria.
Ci si aspetta che con il design fatto si ricada nella stabilità, mentre variando il guadagno si raggiungerà il punto in cui si attraversa l'asse reale negativo in -1 e che tipicamente discrimina tra stabilità e instabilità (però è sempre meglio seguire le indicazioni del criterio).
Ovviamente puoi verificare i risultati usando altri metodi (es. Routh).
Nota: non ho controllato tutti i conti che hai fatto. Da un'occhiata rapida mi sembrano impostati correttamente.
io sapevo che bisogna calcolare i poli a parte reale positiva, in questo caso Pp=0 e da matlab ho un grafico di nyquist di questo tipo
ora so anche che il diagramma di Nyquist non interseca il semiasse reale negativo, quindi non ho variazioni di guadagno di anello. ma dovrei chiudere in qualche modo il diagramma di nyquist se non erro in modo da stabilire che tipo di stabilità c è , ma non so come chiuderlo correttamente
ora so anche che il diagramma di Nyquist non interseca il semiasse reale negativo, quindi non ho variazioni di guadagno di anello. ma dovrei chiudere in qualche modo il diagramma di nyquist se non erro in modo da stabilire che tipo di stabilità c è , ma non so come chiuderlo correttamente
Il cammino si chiude all'infinito, ma prima di dirti di più posta, scritta per bene, la funzione G(s).
la funzione completa è G(s)=(11.6 s^2 + 204 s + 450)/(0.02275 s^4 + 1.114 s^3 + 5 s^2)
La funzione è
$G(s)=(11.6 s^2 + 204 s + 450)/(0.02275 s^4 + 1.114 s^3 + 5 s^2)$
Non ha poli a parte reale positiva e non ha rotazioni attorno al punto (-1,0), perchè il diagramma di Nyquist con i versi segnati si richiude all'infinito sulla destra (alla fine fa un percorso orario).
Quindi per il T di Nyquist il sistema è stabile (asintoticamente) e poichè la situazione non cambia moltiplicando per un guadagno K positivo si conclude che questo è vero per una qualsiasi variazione del quadagno di anello K>0.
Puoi verificare facilmente questa conclusione facendo il luogo delle radici della funzione in oggetto.
Nota: per scrivere la funzione ho riportato quello che hai scritto mettendolo tra "dollari".
$G(s)=(11.6 s^2 + 204 s + 450)/(0.02275 s^4 + 1.114 s^3 + 5 s^2)$
Non ha poli a parte reale positiva e non ha rotazioni attorno al punto (-1,0), perchè il diagramma di Nyquist con i versi segnati si richiude all'infinito sulla destra (alla fine fa un percorso orario).
Quindi per il T di Nyquist il sistema è stabile (asintoticamente) e poichè la situazione non cambia moltiplicando per un guadagno K positivo si conclude che questo è vero per una qualsiasi variazione del quadagno di anello K>0.
Puoi verificare facilmente questa conclusione facendo il luogo delle radici della funzione in oggetto.
Nota: per scrivere la funzione ho riportato quello che hai scritto mettendolo tra "dollari".
Ma come faccio a sapere come chiuderla? A quanto ho capito in questo caso bisogna fare due mezzi giri dal ramo superiore e andare al ramo inferiore e il punto critico non viene "accerchiato". perchè non può essere che si chiude dal ramo in basso verso l'alto accerchiando cosi il punto critico? In sostanza qual è il ragionamento e calcoli per sapere da che parte chiudere il diagramma?
Un sistema di tipo L è caratterizzato da L semicerchi infiniti. Questi semicerchi sono posti in modo che il cammino sia orario.
Ora se osservi le direzioni del diagramma che hai riportato e provi a chiudere unendo la parte superiore con quella inferiore potrai passare dall'asse negativo delle ascisse oppure potrai passare dall'asse positivo delle ascisse.
Però nel primo caso otterrai un percorso antiorario mentre nel secondo caso il percorso sarà orario. E quindi è corretta la seconda alternativa con quello che ne consegue.
Ora se osservi le direzioni del diagramma che hai riportato e provi a chiudere unendo la parte superiore con quella inferiore potrai passare dall'asse negativo delle ascisse oppure potrai passare dall'asse positivo delle ascisse.
Però nel primo caso otterrai un percorso antiorario mentre nel secondo caso il percorso sarà orario. E quindi è corretta la seconda alternativa con quello che ne consegue.
scusa ma se io prendo in esame per esempio questa funzione $G(s)=((1+s*0.45)/(1+s*0.605))*(54/s)$ ottengo un grafico di Nyquist di questo tipo
in questo caso sempre zero poli a parte reale positiva e nessun avvolgimento intorno al punto critico, quindi ho la stessa stabilità del esercizio precedente, quindi una stabilità intrinseca? anche se in questo caso i rami non vanno verso sinistra all'infinito ma verso l'alto all'infinito?
in questo caso sempre zero poli a parte reale positiva e nessun avvolgimento intorno al punto critico, quindi ho la stessa stabilità del esercizio precedente, quindi una stabilità intrinseca? anche se in questo caso i rami non vanno verso sinistra all'infinito ma verso l'alto all'infinito?
SI
Anche in questo caso il sistema è di tipo L=1 e il grafico, in base alle direzioni indicate, all'infinito si dovrà richiudere verso destra e quindi il sistema è stabile.
Tra l'altro che il sistema in anello chiuso sia stabile per qualsiasi guadagno positivo lo si può ricavare direttamente dal criterio di Bode.
Anche in questo caso il sistema è di tipo L=1 e il grafico, in base alle direzioni indicate, all'infinito si dovrà richiudere verso destra e quindi il sistema è stabile.
Tra l'altro che il sistema in anello chiuso sia stabile per qualsiasi guadagno positivo lo si può ricavare direttamente dal criterio di Bode.
continuando a svolgere i vari esercizi ho trovato questo
$G(s)=(3316s^2+2.34*10^4s+21000)/(7.275s^4+510.2s^3+70s^2)$
in questo caso ho due poli nell'origine e due poli a parte reale negativa con questo grafico di nyquist
più precisamente cosi
vedo che taglia l' asse in -7.67 quindi calcolo $Kmax=1/|-7.67|=0.13$
in questo caso che tipo di stabilità ho?
$G(s)=(3316s^2+2.34*10^4s+21000)/(7.275s^4+510.2s^3+70s^2)$
in questo caso ho due poli nell'origine e due poli a parte reale negativa con questo grafico di nyquist
più precisamente cosi
vedo che taglia l' asse in -7.67 quindi calcolo $Kmax=1/|-7.67|=0.13$
in questo caso che tipo di stabilità ho?
Mi sembra che ci sia un'inconsistenza tra le frecce dei due grafici. Supponendo corrette le frecce del grafico con range più limitato (e quindi invertite quelle del grafico esteso), il grafico dopo aver attraversato l'asse reale si richiuderà all'infinito verso destra.
Pertanto questo è un sistema che sarà stabile per valori di K tali da lasciare a destra di (-1,0) il "cappio" e quindi sarà stabile per $K>0.13$.
Quello da te calcolato è da intendersi un $K_(min)$.
Pertanto questo è un sistema che sarà stabile per valori di K tali da lasciare a destra di (-1,0) il "cappio" e quindi sarà stabile per $K>0.13$.
Quello da te calcolato è da intendersi un $K_(min)$.
quindi che tipo di stabilità c è
regolare
intrinseca
paradossale
condizionata
robusta
che ragionamento si deve fare per poi scegliere una di queste?
regolare
intrinseca
paradossale
condizionata
robusta
che ragionamento si deve fare per poi scegliere una di queste?
Questa mania di classificare .... 
Comunque le definizioni non sono proprio perfettamente coincidenti per cui è meglio che riporto quelle a cui sto facendo riferimento (e che vengono utili anche per rispondere alla tua domanda sul ragionamento da fare).
1) stabilità intrinseca: il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico.
2) stabilità regolare: il sistema è stabile per 0
E' evidente che siamo nel caso 4).
NOTA: Quanto alla stabilità "robusta" non so esattamente cosa intendi. Di solito l'aggettivo "robusto" non è legato al tipo di stabilità, ma ad una quantificazione della stessa, ovvero quanto un sistema sia immune a variazione dei parametri (e quindi è un concetto legato ai margini di stabilità).
Comunque le definizioni non sono proprio perfettamente coincidenti per cui è meglio che riporto quelle a cui sto facendo riferimento (e che vengono utili anche per rispondere alla tua domanda sul ragionamento da fare).
1) stabilità intrinseca: il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico.
2) stabilità regolare: il sistema è stabile per 0
E' evidente che siamo nel caso 4).
NOTA: Quanto alla stabilità "robusta" non so esattamente cosa intendi. Di solito l'aggettivo "robusto" non è legato al tipo di stabilità, ma ad una quantificazione della stessa, ovvero quanto un sistema sia immune a variazione dei parametri (e quindi è un concetto legato ai margini di stabilità).
e scusa come faccio a trovare la differenza tra $Kmin Kmax K$
ho che Kmin=1/intersezione con l asse immaginario, le altre due come le calcolo?
ho che Kmin=1/intersezione con l asse immaginario, le altre due come le calcolo?
Supponendo che non vi siano poli a parte reale positiva:
1) stabilità intrinseca: in ogni caso non il diagramma non gira attorno al punto (-1,0)
2) stabilità regolare: se il guadagno è ridotto (K < Kmax) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e corrisponde proprio a 1/valore di attraversamento.
3) stabilità condizionata: si ha nel caso di più attraversamenti dell'asse reale. In questo caso puoi avere casi molto complessi. Ad esempio in cui hai per bassi valori di K una sola rotazione attorno a (-1,0), e quindi il sistema è instabile, per valori medi di K due rotazioni in versi opposti e quindi sistema stabile e infine due rotazioni nello stesso verso e di nuovo sistema instabile. Esaminando i valori limite delle situazioni quando il diagramma passa per (-1,0) si trovano i valori di K, che corrispondono ai valori di 1/valore di attraversamento di ciascun ramo.
4) stabilità paradossale: se il guadagno è elevato (K > Kmin) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e di nuovo è 1/valore di attraversamento.
1) stabilità intrinseca: in ogni caso non il diagramma non gira attorno al punto (-1,0)
2) stabilità regolare: se il guadagno è ridotto (K < Kmax) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e corrisponde proprio a 1/valore di attraversamento.
3) stabilità condizionata: si ha nel caso di più attraversamenti dell'asse reale. In questo caso puoi avere casi molto complessi. Ad esempio in cui hai per bassi valori di K una sola rotazione attorno a (-1,0), e quindi il sistema è instabile, per valori medi di K due rotazioni in versi opposti e quindi sistema stabile e infine due rotazioni nello stesso verso e di nuovo sistema instabile. Esaminando i valori limite delle situazioni quando il diagramma passa per (-1,0) si trovano i valori di K, che corrispondono ai valori di 1/valore di attraversamento di ciascun ramo.
4) stabilità paradossale: se il guadagno è elevato (K > Kmin) non giro attorno al punto (-1,0). Il valore di K limite è quello per cui passo da (-1,0) e di nuovo è 1/valore di attraversamento.
"ingres":
La funzione è
$G(s)=(11.6 s^2 + 204 s + 450)/(0.02275 s^4 + 1.114 s^3 + 5 s^2)$
Non ha poli a parte reale positiva e non ha rotazioni attorno al punto (-1,0), perchè il diagramma di Nyquist con i versi segnati si richiude all'infinito sulla destra (alla fine fa un percorso orario).
Quindi per il T di Nyquist il sistema è stabile (asintoticamente) e poichè la situazione non cambia moltiplicando per un guadagno K positivo si conclude che questo è vero per una qualsiasi variazione del quadagno di anello K>0.
Puoi verificare facilmente questa conclusione facendo il luogo delle radici della funzione in oggetto.
Nota: per scrivere la funzione ho riportato quello che hai scritto mettendolo tra "dollari".
scusa ma riguardano questa G(s) in questo caso stavamo parlando di una stabilità intrinseca o di una stabilità asintotica?
Sono due classificazioni diverse: una riguarda la stabilità in funzione del guadagno, l'altra verifica la stabilità rispetto alle condizioni iniziali.
Il sistema è intrinsecamente stabile perchè la sua stabilità non cambia al variare del guadagno.
E' asintoticamente stabile perchè il suo movimento libero tende a zero per qualunque stato iniziale (ovvero i poli in anello chiuso sono tutti a parte reale negativa e non vi sono poli a s=0 oppure puramente immaginari).
Il sistema è intrinsecamente stabile perchè la sua stabilità non cambia al variare del guadagno.
E' asintoticamente stabile perchè il suo movimento libero tende a zero per qualunque stato iniziale (ovvero i poli in anello chiuso sono tutti a parte reale negativa e non vi sono poli a s=0 oppure puramente immaginari).
"ingres":
Sono due classificazioni diverse: una riguarda la stabilità in funzione del guadagno, l'altra verifica la stabilità rispetto alle condizioni iniziali.
Il sistema è intrinsecamente stabile perchè la sua stabilità non cambia al variare del guadagno.
E' asintoticamente stabile perchè il suo movimento libero tende a zero per qualunque stato iniziale (ovvero i poli in anello chiuso sono tutti a parte reale negativa e non vi sono poli a s=0 oppure puramente immaginari).
Ah okok quindi il sistema è entrambe le cose, sia asintoticamente stabile che con stabilità intrinseca capito
Perchè io con questa $G(s)=(3.582*10^4s^3+2.071*10^5s^2+141744s+8000)/(4291s^6+6.203*10^4s^5+2.166*10^5s^4+2.653*10^5s^3+1.074*10^5s^2+1000s$
con questa G(s) avrei detto asintoticamente stabile, e in più che stabilità ha? condizionata paradossale o regolare?
A parte s=0, se tutti i restanti poli sono a parte reale negativa, il grafico non deve fare rotazioni attorno a (-1,0). Poichè mi sembra che variando il guadagno il "cappio" si allarga, ti direi che siamo in presenza di una stabilità regolare per $K<1/0.2=5$.
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