Che cos'è la trasformata di Fourier multidimensionale?
Qualche mese fa ho letto i primi tre capitoli di un testo di Teoria dei Segnali per ingegneri, e questo mi ha permesso di capire il (ma forse è meglio dire un) significato fisico della trasformata di Fourier unidimensionale e l'uso che ne fate per descrivere la composizione di un segnale. Questo è molto utile perché rende la teoria più trasparente e facile da ricordare.
Ora però sto usando ampiamente lo stesso strumento in ambito multidimensionale; l'utilità sta nel fatto che, scambiando derivazioni con prodotti, permette di trasformare equazioni differenziali in equazioni algebriche, e di descrivere certi spazi di Sobolev in termini algebrici anziché differenziali.
Però tutto questo non illumina sull'eventuale significato fisico e intuitivo della trasformata multidimensionale, né posso pensare di adattare quello monodimensionale che conosco perché dipende in modo sostanziale dal fatto che una delle variabili sia un tempo e l'altra una pulsazione (o una frequenza), e queste sono grandezze monodimensionali.
Qualcuno mi saprebbe chiarire la questione per grandi linee?
Ora però sto usando ampiamente lo stesso strumento in ambito multidimensionale; l'utilità sta nel fatto che, scambiando derivazioni con prodotti, permette di trasformare equazioni differenziali in equazioni algebriche, e di descrivere certi spazi di Sobolev in termini algebrici anziché differenziali.
Però tutto questo non illumina sull'eventuale significato fisico e intuitivo della trasformata multidimensionale, né posso pensare di adattare quello monodimensionale che conosco perché dipende in modo sostanziale dal fatto che una delle variabili sia un tempo e l'altra una pulsazione (o una frequenza), e queste sono grandezze monodimensionali.
Qualcuno mi saprebbe chiarire la questione per grandi linee?
Risposte
Dato che non ho affrontato di persona ancora l'argomento non dò una risposta, ma per da quello che ho capito una possibile applicazione è legata ad esempio all'elaborazione delle immagini, e quindi alle frequenze spaziali nella direzione $x$ e nella direzione $y$.
http://sharp.bu.edu/~slehar/fourier/fourier.html
http://sharp.bu.edu/~slehar/fourier/fourier.html
Per quello che ho visto io, la trasformata multidimensionale si usa di solito per semplificarsi la vita con le coordinate spaziali quando se ne considera più di una. Ad esempio, nell'equazione di Helmoltz, una PDE che deriva dall'equazione delle onde, compare il laplaciano sulle coordinate spaziali [tex]$x$[/tex], [tex]$y$[/tex] e [tex]$z$[/tex], quindi fa comodo avere una trasformata a più dimensioni (in questo caso due), esattamente come fa comodo la trasformata unidimensionale nel risolvere le ODE. Per procedere con l'esempio (calcolo del campo EM generato nello spazio da un'apertura in cui è nota la configurazione di campo, o in parole povere, calcolo dell'irradiazione di un'antenna tipo parabola) dalle equazioni di Maxwell derivano queste due:
(I) [tex]\nabla^2 \mathbf{E}+k_0^2\mathbf{E}=0[/tex] (equazione di Helmoltz)
(II) [tex]\nabla \cdot \mathbf{E}=0[/tex] (legge di Gauss in assenza di correnti e densità di carica)
Trasformando le due equazioni in [tex]$x$[/tex] e [tex]$y$[/tex] (compaiono quindi le due nuove variabili [tex]$k_x$[/tex] e [tex]$k_y$[/tex]), con un pò di magheggi si arriva a dire che
[tex]$\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi^2}\iint \mathbf{f}(k_x,k_y)e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \text{d}k_x\text{d}k_y$[/tex].
Detto a parole, un campo elettrico arbitrario nello spazio [tex]$z>0$[/tex] ([tex]$z$[/tex] è la coordinata di propagazione) può essere visto come uno spettro di onde piane (ecco l'analogia con il caso tempo-frequenza! In questo caso però invece di sinusoidi nel tempo hai onde elettromagnetiche), infatti [tex]\mathbf{f}(k_x,k_y)e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}[/tex] è la rappresentazione matematica di un'onda piana di ampiezza [tex]\mathbf{f}[/tex] che si propaga nella direzione del vettore [tex]\mathbf{k}[/tex]. Proprio come esiste un dualismo tempo - frequenza, dunque, esiste un dualismo spazio - frequenze "spaziali" (infatti, come dice Ska, trasformate multidimensionali, wavelet e altre amenità si usano anche in elaborazione di immagini). Per la cronaca, con un altro pò di magheggi si arriva a dire che
[tex]$\mathbf{f}(k_x,k_y)=\iint_{S_a} \mathbf{E}_a(x,y)e^{-j (k_x x + k_y y)} \text{d}x\text{d}y$[/tex], ovvero la trasformata di Fourier bidimensionale del campo (noto!) sulla superficie dell'apertura [tex]$S_a$[/tex].
Spero che il concetto sia chiaro. Scusa se sono sfociato in ambiti particolari ma non sono in grado di spiegare la cosa se non tramite esempi.
(I) [tex]\nabla^2 \mathbf{E}+k_0^2\mathbf{E}=0[/tex] (equazione di Helmoltz)
(II) [tex]\nabla \cdot \mathbf{E}=0[/tex] (legge di Gauss in assenza di correnti e densità di carica)
Trasformando le due equazioni in [tex]$x$[/tex] e [tex]$y$[/tex] (compaiono quindi le due nuove variabili [tex]$k_x$[/tex] e [tex]$k_y$[/tex]), con un pò di magheggi si arriva a dire che
[tex]$\mathbf{E}(x,y,z)=\frac{1}{4\pi^2}\iint \mathbf{f}(k_x,k_y)e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \text{d}k_x\text{d}k_y$[/tex].
Detto a parole, un campo elettrico arbitrario nello spazio [tex]$z>0$[/tex] ([tex]$z$[/tex] è la coordinata di propagazione) può essere visto come uno spettro di onde piane (ecco l'analogia con il caso tempo-frequenza! In questo caso però invece di sinusoidi nel tempo hai onde elettromagnetiche), infatti [tex]\mathbf{f}(k_x,k_y)e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}[/tex] è la rappresentazione matematica di un'onda piana di ampiezza [tex]\mathbf{f}[/tex] che si propaga nella direzione del vettore [tex]\mathbf{k}[/tex]. Proprio come esiste un dualismo tempo - frequenza, dunque, esiste un dualismo spazio - frequenze "spaziali" (infatti, come dice Ska, trasformate multidimensionali, wavelet e altre amenità si usano anche in elaborazione di immagini). Per la cronaca, con un altro pò di magheggi si arriva a dire che
[tex]$\mathbf{f}(k_x,k_y)=\iint_{S_a} \mathbf{E}_a(x,y)e^{-j (k_x x + k_y y)} \text{d}x\text{d}y$[/tex], ovvero la trasformata di Fourier bidimensionale del campo (noto!) sulla superficie dell'apertura [tex]$S_a$[/tex].
Spero che il concetto sia chiaro. Scusa se sono sfociato in ambiti particolari ma non sono in grado di spiegare la cosa se non tramite esempi.
un possibile significato fisico può essere che tu scomponi il tuo segnale in onde.
Ad esempio un qualsiasi segnale non periodico $L^2$ (cioè a energia finita) ,o anche una distribuzione, li puoi scrivere come sovrapposizione di onde piane no? immagina in una dimensione, dove però c'è anche il tempo perchè l'onda viaggia...allora hai: $1/(2pi)^2 intint_(mathbb{R}^2) F(omega,k)e^(ikx-omegat)domegadk...$, dove $F(omega,k)$ è la trasformata...
Ovviamente così integri su tutti i possibili vettori d'onda e frequenze...Se hai un vincolo posto dal fatto che hai una relazione di dispersione $omega= Omega(k)$ torni a una trasformata di fourier in una dimensione...
Ad esempio un qualsiasi segnale non periodico $L^2$ (cioè a energia finita) ,o anche una distribuzione, li puoi scrivere come sovrapposizione di onde piane no? immagina in una dimensione, dove però c'è anche il tempo perchè l'onda viaggia...allora hai: $1/(2pi)^2 intint_(mathbb{R}^2) F(omega,k)e^(ikx-omegat)domegadk...$, dove $F(omega,k)$ è la trasformata...
Ovviamente così integri su tutti i possibili vettori d'onda e frequenze...Se hai un vincolo posto dal fatto che hai una relazione di dispersione $omega= Omega(k)$ torni a una trasformata di fourier in una dimensione...
@tutti: Io ringrazio tutti e 3 per le risposte puntuali ed esaurienti. Ho bisogno di un po' per digerirle, purtroppo... Ma era proprio quello che cercavo.
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