Calcolo trasformata di Fourier
Mi sono imbattuto in questo esercizio
Determinare e rappresentare la trasformata di Fourier del seguente segnale:
x(t) = $ cos ^2 ((pi t)/T) $ |t| < T/2 zero altrove
Ora essendo la trasformata X(f) pari a
X(f) = $ int_(-oo)^(+oo) x(t)e^ -j 2 pi f t _ dt $
quindi essendo x(t) = $ cos ^2 ((pi t)/ T) $
otteniamo :
X(f) = $ int_(-T/2)^(T/2) cos ^2 ((pi t) / T) e^ -j2pift _dt$
....ora mi sono bloccato, come posso svolgere questo integrale? posso operare un'integrazione per parti?
Grazie a tutti anticipatamente.
Determinare e rappresentare la trasformata di Fourier del seguente segnale:
x(t) = $ cos ^2 ((pi t)/T) $ |t| < T/2 zero altrove
Ora essendo la trasformata X(f) pari a
X(f) = $ int_(-oo)^(+oo) x(t)e^ -j 2 pi f t _ dt $
quindi essendo x(t) = $ cos ^2 ((pi t)/ T) $
otteniamo :
X(f) = $ int_(-T/2)^(T/2) cos ^2 ((pi t) / T) e^ -j2pift _dt$
....ora mi sono bloccato, come posso svolgere questo integrale? posso operare un'integrazione per parti?
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
Normalmente quando ci sono esponenziali con argomento complesso si inizia con il convertire l'esponenziale con la formula di Eulero.
Direi che l'approccio è sbagliato. Prova ad utilizzare la ben nota formula:
[tex]\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]
[tex]\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]
Ti ringrazio Lomax.
$ cos ^2 (x) = (1 + cos (2x))/2 -> cos ^2 ((pi t)/T) = (1 + cos ((2 pi t)/T))/2 $
quindi
$ int_(-T/2)^(T/2) ((1+cos ((2pit)/T))/2) e^(-j2pift) dt = 1/2 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pift) dt + 1/4 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pit(f-1/T)) dt + 1/4 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pit(f+1/T)) dt = T/2 sinc (fT) + T/4 sinc(fT-1) + T/4 sinc (fT+1) $
Credo sia corretto
.
Ora però mi chiedo... ma come si rappresentano graficamente le funzioni $ x(t) = cos ^2 ((pit)/T)
X(f) = T/2 sinc (fT) + T/4 sinc (fT-1) + T/4 sinc (fT+1) $
$ cos ^2 (x) = (1 + cos (2x))/2 -> cos ^2 ((pi t)/T) = (1 + cos ((2 pi t)/T))/2 $
quindi
$ int_(-T/2)^(T/2) ((1+cos ((2pit)/T))/2) e^(-j2pift) dt = 1/2 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pift) dt + 1/4 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pit(f-1/T)) dt + 1/4 int_(-T/2)^(T/2) e^(-j2pit(f+1/T)) dt = T/2 sinc (fT) + T/4 sinc(fT-1) + T/4 sinc (fT+1) $
Credo sia corretto
.Ora però mi chiedo... ma come si rappresentano graficamente le funzioni $ x(t) = cos ^2 ((pit)/T)
X(f) = T/2 sinc (fT) + T/4 sinc (fT-1) + T/4 sinc (fT+1) $
In che senso come si rappresentano??
"K.Lomax":
In che senso come si rappresentano??
Si scusami mi sono espresso male, purtroppo sto avendo non pochi problemi con Teoria Dei Segnali....
.Ora del segnale x(t) conosco anche il segnale X(f) ovvero l'andamento in ambito frequenziale. Se mi venisse chiesto di disegnare i grafici degli spettri di fase e ampiezza come si fanno?
Per il modulo devi disegnare l'andamento della [tex]X(f)[/tex] così come la vedi.
Per la fase, direi che essendo [tex]X(f)[/tex] reale essa può assumere valore pari a [tex]0[/tex] o a [tex]\pm\pi[/tex] in quanto quella grandezza o è positiva o è negativa. Di solito non la si disegna la fase, comunque se proprio sei interessato devi, come ti ho appena detto, indagare sulle zone in cui il segnale assume valori positivi e negativi.
Per la fase, direi che essendo [tex]X(f)[/tex] reale essa può assumere valore pari a [tex]0[/tex] o a [tex]\pm\pi[/tex] in quanto quella grandezza o è positiva o è negativa. Di solito non la si disegna la fase, comunque se proprio sei interessato devi, come ti ho appena detto, indagare sulle zone in cui il segnale assume valori positivi e negativi.
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