Calcolo proprietà statiche sezioni

[ing82]

Buongiorno, mi trovo nella necessità di dover calcolare le proprietà statiche di sezioni generiche, il cui perimetro può essere descritto sia da segmenti che da tratti curvi (archi, parabole, spline, ecc.).
Nel caso di figure descritte da soli segmenti ho risolto, riuscendo a tenere in conto anche eventuali fori della sezione stessa, resta il problema delle porzioni curve.
La domanda è:

devo passare per forza per una "discretizzazione" dei tratti curvi in segmenti per procedere col calcolo?
Se questa è la sola strada, come sapere a priori la relazione tra errore nelle proprietà calcolate della sezione e discretizzazione scelta?

Ad esempio, nel caso di una figura con contorno descritto da un arco di cerchio, se scelgo di suddividere l'arco di cerchio ogni un certo angolo alfa, l'errore che commetto rispetto all'area teorica è pari a [1-sen(alfa)*180/(pigreco*alfa)]*100 (valore ottenuto in percentuale, alfa da considerare in gradi).
Quindi se ho un cerchio e scelgo di discretizzare il suo perimetro ogni 10°, commetto un errore sull'area pari a 0.5069%. Resterebbe da capire l'influenza ad esempio sui momenti di inerzia (???), per non parlare poi di parabole, spline, ecc.
Qualche consiglio?
Grazie

[ansawo]

non ti è stata data la definizione matematica?

non devi discretizzare. devi solo essere in grado di esprimere parametricamente il tuo dominio (quindi la tua sezione) e risolvere l'integrale che andrai a impostare

comunque si ha che

i momenti statici $S_x$ e $S_y$ sono

$S_x=\int_(\omega)y dxdy$

$S_y=\int_(\omega)x dxdy$

mentre i momenti di inerzia

$J_x=\int_(\omega)y^2 dxdy$

$J_y=\int_(\omega)x^2 dxdy$

$J_(xy)=\int_(\omega)xy dxdy$


ps ho indicato con $\omega$ genericamente per intendere il dominio. potrà anche capitareche l'integrale tu lo debba spezzare.


poi se ci sono simmetrie, o ti danno il baricentro della sezione, puoi semplificarti i conti con alcune proprietà che penso ci saranno scritte sul tuo testo (esempio un asse di simmetria è principale e quindi $J_(xy)$ è nullo)

** ho editato piccole modifiche sulle formule

[ing82]

Poniamo il caso che la mia sezione sia composta da tre vertici, per comodità:
vertice 1: x=0, y=0;
vertice 2: x=-3, y=4;
vertice 3: x=3, y=4.
I vertici 1 e 2 sono uniti da un segmento, i vertici 3 e 1 sono uniti da un segmento, mentre i vertici 2 e 3 sono uniti da un tratto curvo la cui equazione è espressa da un polinomio noto.
Per l'area ad esempio, si tratterà quindi di spezzare l'integrale in tre, cioè dal vertice 1 al vertice 2, dal vertice 2 al vertice 3 e infine dal vertice 3 al vertice 1.
Come dicevo nel primo intervento, per i tratti in cui il contorno è un segmento, la situazione è facile, anche per i momenti statici e i momenti di inerzia, ed è già stata risolta, mentre mi crea qualche problema la porzione con contorno "curvo".
Quindi tra i vertici 2 e 3, per l'area ad esempio dovrei eseguire il seguente integrale:
\(\displaystyle Area=\int _{x2}^{x3}\int _{y2}^{y3} p(x,y)dxdy\)
Nel caso il tratto curvo fosse un arco di circonferenza con centro nell'origine, la sua equazione sarebbe:
\(\displaystyle p(x,y): x^2+y^2-25 \)
Quindi l'integrale dell'area dovrebbe diventare:
\(\displaystyle Area=\int _{x2}^{x3}\int _{y2}^{y3} ??????dxdy\)
E qui iniziano i problemi con la matematica, che dopo qualche anno di "disuso" bisogna andare a togliere la ruggine. Qualche consiglio?
Grazie