Calcolo integrale doppio con cambiamento di variabili

[CosenTheta]

Si consideri il seguente integrale:

\(\displaystyle I = \iint_{D} |\cos(x+y)| dxdy \)

da risolvere sul dominio:

\(\displaystyle D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq x\leq \pi, 0\leq y \leq \pi\}. \)


Per semplificare l'integranda, ho considerato la trasformazione:

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
u = x+y \\
v = x
\end{matrix}\right. \)

il cui determinante Jacobiano in modulo risulta di valore unitario.
Dalle informazioni del dominio, ricavo che \(\displaystyle 0\leq x+y \leq 2\pi \), quindi il nuovo dominio risulta essere:

\(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u \leq 2\pi\} \).

Impostando finalmente il nuovo integrale, risulta:
\(\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} dv \int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du = \pi\int_{0}^{2\pi} |\cos (u)| du \)
L'integrale del coseno si svolge semplicemente spezzando l'intervallo di integrazione, in modo tale da togliere il valore assoluto. Il risultato che ottengo è $4\pi$, quando in realtà dovrebbe risultare $2\pi$.

Quali sono gli errori in questo procedimento? Vi ringrazio.

[RenzoDF]

"CosenTheta":... Quali sono gli errori in questo procedimento? ...

Direi nella trasformazione (non corrispondenza) del dominio.

[DeltaEpsilon]

"CosenTheta":
\(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u \leq 2\pi\} \).

Non è \(\displaystyle D^{'} = \{(v,u) \in \mathbb{R}^{2} : 0 \leq v\leq \pi, 0\leq u-v \leq \pi\} \) ?

[CosenTheta]

"RenzoDF": Direi nella trasformazione (non corrispondenza) del dominio.

Potresti mostrarmi come lo scriveresti?

[RenzoDF]

Più che scriverlo, direi che posso rappresentare la non corrispondenza in forma grafica

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC L 7 -16744448 1.0
FJC A 0.2
FJC B 0.2
LI 30 3 30 6 0
LI 20 30 57 30 0
LI 50 30 50 31 0
LI 30 10 29 10 0
TY 48 32 3 2 0 0 0 * 2π
TY 23 8 3 2 0 0 0 * 2π
TY 26 31 3 2 0 0 0 * 0
LI 30 35 30 39 0
LI 30 6 30 36 2
FCJ 0 0 3 2 2 0
LI 40 10 40 44 2
FCJ 0 0 3 2 2 0
TY 41 10 4 3 0 0 2 * v
RV 30 20 40 30 7
TY 34 22 4 3 0 0 7 * D
LI 19 19 41 41 11
FCJ 0 0 3 2 2 0
TY 45 19 4 3 0 0 11 * u
LI 29 9 51 31 11
FCJ 0 0 3 2 2 0
TY 54 24 4 3 0 0 15 * x
TY 31 1 4 3 0 0 15 * y[/fcd]

[CosenTheta]

L'unica cosa che mi viene in mente è riscrivere $D^{'}$ in questo modo:

$D′={(v,u)∈R^{2}:0≤v≤π,v≤u≤v+\pi}$

[RenzoDF]

Esatto

Le rette: superiore $y=\pi$ e inferiore $y=0$, del dominio $D$ portano rispettivamente a
$u=v+\pi$ e $u=v$,
mentre ovviamente, per le due verticali $v=0$ e $v=\pi$.

[CosenTheta]

A questo punto, impostando nuovamente l'integrale su questo dominio, ottengo:

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi} dv \int_{v}^{v + \pi} |\cos(u)|du\)

ma avendo la variabile $\u$ che non varia più tra due costanti, ma tra $v$ e $v+\pi$, come discuto
il modulo per poterlo togliere?

[RenzoDF]

Hai ragione, possiamo suddividere quel dominio in otto parti

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
LI 40 38 40 58 0
LI 40 58 40 78 0
LI 40 78 60 78 0
LI 60 78 80 78 0
LI 80 78 80 38 0
LI 80 38 40 38 0
TY 28 56 4 3 0 0 0 * Π/2
TY 55 80 4 3 0 0 0 * Π/2
TY 28 35 4 3 0 0 0 * Π
TY 78 80 4 3 0 0 0 * Π
TY 29 79 4 3 0 0 0 * 0
LI 40 58 80 58 0
LI 60 38 60 78 0
LI 40 58 60 78 2
TY 45 70 4 3 0 0 2 * 1
LI 60 38 80 58 2
TY 53 61 4 3 0 0 2 * 1
TY 65 49 4 3 0 0 2 * 1
TY 73 40 4 3 0 0 2 * 1
LI 40 38 80 78 11
TY 65 70 4 3 0 0 11 * 2
TY 53 42 4 3 0 0 11 * 2
TY 46 49 4 3 0 0 11 * 2
TY 73 63 4 3 0 0 11 * 2[/fcd]
suddivisione che, grazie alla periodicità della funzione integranda, permetterà di determinare l'integrale cercato I, a partire dai due integrali elementari I1 e I2, via $I=4(I_1+I_2)$, dove:

$I_1=\int_{0}^{\pi/2}\text{d}v\int_{v}^{\pi/2} \ \cos u \ \text{d}u$

e

$I_2=\int_{\pi/2}^{\pi }\text{d}v\int_{v}^{\pi } -\cos u \ \text{d}u$.

[CosenTheta]

Grazie mille per l'aiuto.