Calcolo filtro.
Ciao a tutti.
Premetto che conosco abbastanza bene la teoria dei filtri (conoscenze puramente accademiche), ma nonostante questo mi trovo in difficoltà con un problema di dimensionamento reale. Vi illustro il problema:
Ho lo schema che potete vedere nella figura.
Uploaded with ImageShack.us
L'impedenza Zd è stata per me valutata come $Zd=14-j26$, devo dimensionare il filtro passa basso che vedete in modo tale da ottenere un'impedenza di ingresso $Zi n=4$ alla frequenza di 13.56MHz e, allo stesso tempo che non blocchi appunto la fondamentale a 13.56MHz ma tutte le multiple 27.12Mhz etc etc.
Sono abbastanza sicuro della sua semplicità ma non sono del tutto convinto della strada analitica da percorrere... pensavo di imporre la frequenza di taglio e l'impedenza voluta però non so come procedere...
Grazie a chiunque si interessi ;D
Premetto che conosco abbastanza bene la teoria dei filtri (conoscenze puramente accademiche), ma nonostante questo mi trovo in difficoltà con un problema di dimensionamento reale. Vi illustro il problema:
Ho lo schema che potete vedere nella figura.
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L'impedenza Zd è stata per me valutata come $Zd=14-j26$, devo dimensionare il filtro passa basso che vedete in modo tale da ottenere un'impedenza di ingresso $Zi n=4$ alla frequenza di 13.56MHz e, allo stesso tempo che non blocchi appunto la fondamentale a 13.56MHz ma tutte le multiple 27.12Mhz etc etc.
Sono abbastanza sicuro della sua semplicità ma non sono del tutto convinto della strada analitica da percorrere... pensavo di imporre la frequenza di taglio e l'impedenza voluta però non so come procedere...
Grazie a chiunque si interessi ;D
Risposte
Hai a che fare con una rete di Colpitts. Prima di tutto devi scegliere la selettività dell'adattamento, i.e. il fattore [tex]Q[/tex] della rete.
Ciao, grazie per la risposta.. comincio a documentarmi su questo tipo di reti. Nel frattempo se scegliessi un Q indicativo di 6 come dovrei muovermi?
Prima di tutto osservi che [tex]Z_d[/tex], alla frequenza di risonanza, si può vedere come una resistenza [tex]$R_2$[/tex] in parallelo a una capacità [tex]$C_T$[/tex]:
[tex]$Z_d=R_2\parallel \frac{1}{j \omega_0 C_T}=\frac{R_2}{1+(\omega_0R_2C_T)^2}-j \frac{\omega_0 C_T R_2^2}{1+(\omega_0R_2C_T)^2}$[/tex]
e imponendola pari a [tex]14-j 26 \Omega[/tex] trovi [tex]$R_2$[/tex] e [tex]$C_T$[/tex]. Ora hai una rete composta da:
- il parallelo tra [tex]Z_{in}[/tex] e [tex]C_1[/tex];
- il parallelo tra [tex]R_2[/tex] e [tex]C_2^*=C_2+C_T[/tex];
- la [tex]L[/tex] messa a ponte tra i due.
Conviene applicare due trasformazioni parallelo-serie alle prime due sottoreti (per info guarda qui). Alla fine dell'operazione, hai le due serie [tex]R_{1S}[/tex]-[tex]C_{1S}[/tex] e [tex]R_{2S}[/tex]-[tex]C_{2S}[/tex] al posto dei paralleli, a loro volta in serie con [tex]L[/tex]. Fa comodo definire i fattori di qualità dei due paralleli:
[tex]Q_1=\omega_0Z_{in}C_1[/tex]
[tex]Q_2=\omega_0R_2C_2^*[/tex]
Accorpando resistori e condensatori in serie, hai una rete risonante serie data da
[tex]R_S=R_{1S}+R_{2S}[/tex]
[tex]L_S=L[/tex]
[tex]$C_S=\frac{C_{1S}C_{2S}}{C_{1S}+C_{2S}}$[/tex]
La prima condizione da imporre è quella sull'adattamento resistivo, ovvero [tex]R_{1S}=R_{2S}[/tex], che per via della suddetta trasformazione diventa
[tex]$\frac{Z_{in}}{1+Q_1^2}=\frac{R_2}{1+Q_2^2}$[/tex].
Questa equazione è del tipo [tex]g(C_1,C_2)=0[/tex], e non ha soluzione univoca. Gliela diamo imponendo la condizione sul [tex]Q[/tex] dell'adattamento (ovvero: qual è la banda entro cui la rete è adattata?), che è quello che hai scelto pari a 6. Siccome per la rete serie vista prima
[tex]$Q=\frac{1}{\omega_0 R_S C_S}$[/tex]
[tex]$C_{1S}=C_1 \frac{1+Q_1^2}{Q_1^2}$[/tex]
[tex]$C_{2S}=C_2^* \frac{1+Q_2^2}{Q_2^2}$[/tex]
ti trovi l'equazione
[tex]$Q=\frac{1}{\omega_0R_SC_S(Q_1^2,Q_2^2)}$[/tex]
che è del tipo [tex]f(C_1,C_2)=0[/tex].
Ora non ti resta che risolvere numericamente il sistema di due equazioni per avere i valori di [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex]. [tex]L[/tex] ovviamente è imposto da [tex]$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C_S}}$[/tex]
[tex]$Z_d=R_2\parallel \frac{1}{j \omega_0 C_T}=\frac{R_2}{1+(\omega_0R_2C_T)^2}-j \frac{\omega_0 C_T R_2^2}{1+(\omega_0R_2C_T)^2}$[/tex]
e imponendola pari a [tex]14-j 26 \Omega[/tex] trovi [tex]$R_2$[/tex] e [tex]$C_T$[/tex]. Ora hai una rete composta da:
- il parallelo tra [tex]Z_{in}[/tex] e [tex]C_1[/tex];
- il parallelo tra [tex]R_2[/tex] e [tex]C_2^*=C_2+C_T[/tex];
- la [tex]L[/tex] messa a ponte tra i due.
Conviene applicare due trasformazioni parallelo-serie alle prime due sottoreti (per info guarda qui). Alla fine dell'operazione, hai le due serie [tex]R_{1S}[/tex]-[tex]C_{1S}[/tex] e [tex]R_{2S}[/tex]-[tex]C_{2S}[/tex] al posto dei paralleli, a loro volta in serie con [tex]L[/tex]. Fa comodo definire i fattori di qualità dei due paralleli:
[tex]Q_1=\omega_0Z_{in}C_1[/tex]
[tex]Q_2=\omega_0R_2C_2^*[/tex]
Accorpando resistori e condensatori in serie, hai una rete risonante serie data da
[tex]R_S=R_{1S}+R_{2S}[/tex]
[tex]L_S=L[/tex]
[tex]$C_S=\frac{C_{1S}C_{2S}}{C_{1S}+C_{2S}}$[/tex]
La prima condizione da imporre è quella sull'adattamento resistivo, ovvero [tex]R_{1S}=R_{2S}[/tex], che per via della suddetta trasformazione diventa
[tex]$\frac{Z_{in}}{1+Q_1^2}=\frac{R_2}{1+Q_2^2}$[/tex].
Questa equazione è del tipo [tex]g(C_1,C_2)=0[/tex], e non ha soluzione univoca. Gliela diamo imponendo la condizione sul [tex]Q[/tex] dell'adattamento (ovvero: qual è la banda entro cui la rete è adattata?), che è quello che hai scelto pari a 6. Siccome per la rete serie vista prima
[tex]$Q=\frac{1}{\omega_0 R_S C_S}$[/tex]
[tex]$C_{1S}=C_1 \frac{1+Q_1^2}{Q_1^2}$[/tex]
[tex]$C_{2S}=C_2^* \frac{1+Q_2^2}{Q_2^2}$[/tex]
ti trovi l'equazione
[tex]$Q=\frac{1}{\omega_0R_SC_S(Q_1^2,Q_2^2)}$[/tex]
che è del tipo [tex]f(C_1,C_2)=0[/tex].
Ora non ti resta che risolvere numericamente il sistema di due equazioni per avere i valori di [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex]. [tex]L[/tex] ovviamente è imposto da [tex]$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C_S}}$[/tex]
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