Calcolo centro di taglio e valore medio area settoriale

[schwarz89it]

La questione è la seguente, data una sezione a C avente ali di larghezza $m$ e anima di altezza $2m$ e spessore costante $b$ si determina da prima la distanza $r_G(s)$ che congiunge il baricentro della figura con la tangente alla linea media.
Si ottiene allora
\(\displaystyle m \text{ con } 0\le s\le m \)
\(\displaystyle \frac{m}{4} \text{ con } m \le s \le 3m \)
\(\displaystyle m \text{ con } 3m \le s \le 4m \)

Fin qui tutto chiaro, ora si calcola l'area settoriale $\Omega_G(s)$ e si ha che $2\Omega_G$ vale
\(\displaystyle ms \text{ con } 0\le s\le m \)
\(\displaystyle \frac{3}{4}m^2+\frac{1}{4}sm \text{ con } m \le s \le 3m \)
\(\displaystyle -\frac{3}{2}m^2+sm \text{ con } 3m \le s \le 4m \)

Anche qui nessun problema, nota: $s$ è l'ascissa curvilinea! Per completezza $2\Omega_G(s)=\int_0^s r_G(s)ds$
A questo punto nasce il problema, devo calcolare il valore medio dell'area settoriale, questo è definito come
\(\displaystyle 2\bar\Omega_G=\frac{1}{A}\int_A \Omega dA=\frac{1}{A}\int_0^s\Omega(s)b(s)ds \)

Essendo l'area $A=4mb$ il testo scrive

\(\displaystyle 2\bar\Omega_G=\frac{1}{4mb}\int_0^{4m}2\Omega_G(s)b\,ds=\frac{5}{4}m^2 \)

Il risultato è chiaramente giusto, ma operativamente non capisco bene come fare per ottenere quel valore, poiché se procedo a sommare le aree $\Omega_G$ che ottengo con gli estremi superiori delle disuguaglianze ottengo come valore $5m^2b$ che sarebbe apparentemente "quasi giusto", ma dovendo dividerlo per il valore di $A$ mi ritrovo con $\frac{5}{4}m$ invece che $\frac{5}{4}m^2$.
Questo è il primo problema, il secondo aspetto ad esporlo perché è sostanzialmente lo stesso, ma dovrei copiare altre formule.