Calcolare la risposta di un sistema LTI e BIBO stabile
Ciao ragazzi. Vi espongo questa domanda di teoria di un compito:
Calcolare la risposta di un sistema LTI e BIBO stabile, di risposta impulsiva $ h(t)$, $t in \mathbb{R} $, al segnale in ingresso $ u(t) = A e^{j2 \pi f_0 t}$, $t in \mathbb{R} $ .
L'ho risolto applicando la proprietà di convoluzione sapendo che la risposta (forzata) è $ v_{f} (t) = [h \ast u] = int_{0^-}^{t^+} h( \tau ) u(t - \tau ) d \tau = int_{0^-}^{t^+} h( t - \tau ) u( \tau ) d \tau$. Allora, sostituendo $u(t)$ ho ricavato la seguente espressione e, a seguire, il risultato finale della risposta:
$ v_{f} (t) = A h( t - \tau ) int_{0^-}^{t^+} e^{j2 \pi f_0 (t - \tau)} d \tau = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} int_{0^-}^{t^+} e^{-j2 \pi f_0 \tau } d \tau = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} [ -{1}/{j2 \pi f_0} e^{-j2 \pi f_0 \tau } ]_{0^-}^{t} = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} ( -{1}/{j2 \pi f_0} e^{-j2 \pi f_0 t} + 1/{j2 \pi f_0} ) = A/{j2 \pi f_0} h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} $
Io ho semplicemente applicato la formula e svolti i calcoli. Che ne dite?
Calcolare la risposta di un sistema LTI e BIBO stabile, di risposta impulsiva $ h(t)$, $t in \mathbb{R} $, al segnale in ingresso $ u(t) = A e^{j2 \pi f_0 t}$, $t in \mathbb{R} $ .
L'ho risolto applicando la proprietà di convoluzione sapendo che la risposta (forzata) è $ v_{f} (t) = [h \ast u] = int_{0^-}^{t^+} h( \tau ) u(t - \tau ) d \tau = int_{0^-}^{t^+} h( t - \tau ) u( \tau ) d \tau$. Allora, sostituendo $u(t)$ ho ricavato la seguente espressione e, a seguire, il risultato finale della risposta:
$ v_{f} (t) = A h( t - \tau ) int_{0^-}^{t^+} e^{j2 \pi f_0 (t - \tau)} d \tau = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} int_{0^-}^{t^+} e^{-j2 \pi f_0 \tau } d \tau = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} [ -{1}/{j2 \pi f_0} e^{-j2 \pi f_0 \tau } ]_{0^-}^{t} = A h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} ( -{1}/{j2 \pi f_0} e^{-j2 \pi f_0 t} + 1/{j2 \pi f_0} ) = A/{j2 \pi f_0} h( t - \tau ) e^{j2 \pi f_0 t} $
Io ho semplicemente applicato la formula e svolti i calcoli. Che ne dite?
Risposte
Ciao, non sono tanto sicuro di alcune cose:
-perchè gli estremi di integrazione della convoluzione sono $ 0^- $ e $ t^+$ e non $ -oo $ e $ +oo $ ?
-hai espresso sia $h(t)$ che $u(t)$ come funzioni di $ t - tau $, mentre lo dovrebbe essere solo una delle due(come hai scritto nelle formule)
-in generale non puoi portare $ h(t-tau) $ fuori dall'integrale, visto che è funzione della variabile di integrazione(a meno che non sia costante)
Già che ci siamo, in questa situazione, cioè quando l'ingresso è un esponenziale immaginario, vale questo fatto importante:
$ y(t) = e^(j2pif_0t) H(f_0) $
dove $H(f_0)$ è la trasformata di Fourier di $h(t)$ calcolata in $f_0$, che di norma semplifica molto i calcoli.
-perchè gli estremi di integrazione della convoluzione sono $ 0^- $ e $ t^+$ e non $ -oo $ e $ +oo $ ?
-hai espresso sia $h(t)$ che $u(t)$ come funzioni di $ t - tau $, mentre lo dovrebbe essere solo una delle due(come hai scritto nelle formule)
-in generale non puoi portare $ h(t-tau) $ fuori dall'integrale, visto che è funzione della variabile di integrazione(a meno che non sia costante)
Già che ci siamo, in questa situazione, cioè quando l'ingresso è un esponenziale immaginario, vale questo fatto importante:
$ y(t) = e^(j2pif_0t) H(f_0) $
dove $H(f_0)$ è la trasformata di Fourier di $h(t)$ calcolata in $f_0$, che di norma semplifica molto i calcoli.
Ciao, rispondo in ordine alle tue considerazioni fatte. La prima, da come ho letto sul libro del mio professore ho considerato il fatto che la risposta impulsiva è nulla per $ t<0 $, quindi ho pensato che considerare estremi negativi non sarebbe necessario. Per quanto riguarda l'estremo $ t^+ $ non sono riuscito a darmi una spiegazione, forse una generalizzazione?
Seconda, si è vero solo ora ho notato che per sbaglio ho scritto sia $ h $ che $ u $ come funzione di $ t - \tau $ e il dubbio è venuto anche a me sul fatto che $ h(t - \tau) $ non lo possa estrarre dal segno di integrale.
Questa proprietà la sapevo ma non mi è venuto minimamente in testa di utilizzarla per quanto sono sbadato ehehe, quindi in questo modo il calcolo si riduce ad una sola "riga"! Grazie dell'aiuto!
Seconda, si è vero solo ora ho notato che per sbaglio ho scritto sia $ h $ che $ u $ come funzione di $ t - \tau $ e il dubbio è venuto anche a me sul fatto che $ h(t - \tau) $ non lo possa estrarre dal segno di integrale.
Questa proprietà la sapevo ma non mi è venuto minimamente in testa di utilizzarla per quanto sono sbadato ehehe, quindi in questo modo il calcolo si riduce ad una sola "riga"! Grazie dell'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo