Biforcazione dell'equilibrio.
Sto considerando una trave rettilinea di lunghezza $2l$, in compressione
con carico $\lambda$.
Considero la terna di riferimento:
$\hatk$ parallelo all'asse della trave;
$\hati$"entrante";
$\hatj$ perciò "verso l'alto"
(scusate le definizioni -ma mi rifaccio
all'ordinaria nostra percezione -ed a che cosa dovrei?)
E l'origine nell'estremo, che chiamo $A$ della trave.
In $A$ ho un vincolo di cerniera.
All'altro estremo, che chiamo $B$ ho un glifo che consenta traslazioni lungo $\hatk$.
Nel suo punto medio $M$ la trave è vincolata con
una molla estensionale che esplica reazione parallela a $\j$.
Considerare il carico critico.
Io approccio queste situazioni con il metodo "energetico-variazionale":
considero l'energia potenziale elastica del sistema, e pongo
la sua variazione prima uguale a zero.
Non mi interessa sapere se l'equilibrio sia stabile, instabile o indifferente.
Ma che non esista, per un certo carico, una sola
configurazione di equilibrio.
Infatti ottengo una equazione differenziale che, integrata, mi
dà la funzione di traslazione; e questa
ha da soddisfare le condizioni
a contorno.
Ora, se per un certo valore del carico (che posso considerare come parametro) il sistema lineare delle equazioni di condizioni al contorno non ammette un'unica soluzione, quel carico è critico, e la trave elastica "svergola", come si dice.
Per esempio: considerando
ora la trave suddetta, SENZA la molla in $M$.
$^(el.)P=\int_{0}^{2l}{EI[v'']^2/2 -\lambda[v']^2/2}"d"z ;$
$; \delta^(el.)P=\int_{0}^{2l}{EIv''\deltav'' -\lambdav'\deltav'}"d"z =0$, dove:
$v$ è la traslazione di un punti lungo $\hatj$; e, per ipotesi, $"d"/"d"z-=v'=-\theta$, ove $\theta è la curvatura locale dell'asse deformato.
$EI[v'']^2/2$ è l'energia potenziale
elastica del momento interno;
$\lambda(1-cos\theta)~~\lambda\theta^2/2=\lambda[v']^2/2$ il lavoro elementare delle forze esterne.
Integrando per parti, e considerando che
ciò valga per ogni tratto, $\deltav'$,$\deltav$,
ottengo:
$[EIv'']_0^(2l)=0$
$[EIv'''+\lambdav']_0^(2l)=0$
$EIv^(IV)+\lambdav''=0$.
Il mio punto è: nel caso in esame, come
"faccio rientrare" la reazione della molla? -perchè
il suo lavoro (o, in alternativa, variazione di energia potenziale -mi resta "fuori" dall'integrale finale -equazione differenziale)
(!) ora devo proprio andare: c'è un esame in quest'aula.
La mia idea è che ci entrasse con
l'equazione differenziale, come condizione al contorno.
con carico $\lambda$.
Considero la terna di riferimento:
$\hatk$ parallelo all'asse della trave;
$\hati$"entrante";
$\hatj$ perciò "verso l'alto"
(scusate le definizioni -ma mi rifaccio
all'ordinaria nostra percezione -ed a che cosa dovrei?)
E l'origine nell'estremo, che chiamo $A$ della trave.
In $A$ ho un vincolo di cerniera.
All'altro estremo, che chiamo $B$ ho un glifo che consenta traslazioni lungo $\hatk$.
Nel suo punto medio $M$ la trave è vincolata con
una molla estensionale che esplica reazione parallela a $\j$.
Considerare il carico critico.
Io approccio queste situazioni con il metodo "energetico-variazionale":
considero l'energia potenziale elastica del sistema, e pongo
la sua variazione prima uguale a zero.
Non mi interessa sapere se l'equilibrio sia stabile, instabile o indifferente.
Ma che non esista, per un certo carico, una sola
configurazione di equilibrio.
Infatti ottengo una equazione differenziale che, integrata, mi
dà la funzione di traslazione; e questa
ha da soddisfare le condizioni
a contorno.
Ora, se per un certo valore del carico (che posso considerare come parametro) il sistema lineare delle equazioni di condizioni al contorno non ammette un'unica soluzione, quel carico è critico, e la trave elastica "svergola", come si dice.
Per esempio: considerando
ora la trave suddetta, SENZA la molla in $M$.
$^(el.)P=\int_{0}^{2l}{EI[v'']^2/2 -\lambda[v']^2/2}"d"z ;$
$; \delta^(el.)P=\int_{0}^{2l}{EIv''\deltav'' -\lambdav'\deltav'}"d"z =0$, dove:
$v$ è la traslazione di un punti lungo $\hatj$; e, per ipotesi, $"d"/"d"z-=v'=-\theta$, ove $\theta è la curvatura locale dell'asse deformato.
$EI[v'']^2/2$ è l'energia potenziale
elastica del momento interno;
$\lambda(1-cos\theta)~~\lambda\theta^2/2=\lambda[v']^2/2$ il lavoro elementare delle forze esterne.
Integrando per parti, e considerando che
ciò valga per ogni tratto, $\deltav'$,$\deltav$,
ottengo:
$[EIv'']_0^(2l)=0$
$[EIv'''+\lambdav']_0^(2l)=0$
$EIv^(IV)+\lambdav''=0$.
Il mio punto è: nel caso in esame, come
"faccio rientrare" la reazione della molla? -perchè
il suo lavoro (o, in alternativa, variazione di energia potenziale -mi resta "fuori" dall'integrale finale -equazione differenziale)
(!) ora devo proprio andare: c'è un esame in quest'aula.
La mia idea è che ci entrasse con
l'equazione differenziale, come condizione al contorno.
Risposte
Risposta trovata!
Bisognava scomporre la trave nei due tratti, ed impostare
due equazioni differenziali.
L'influenza di $k$ si evidenziava nelle condizioni al contorno.
Bye.
Bisognava scomporre la trave nei due tratti, ed impostare
due equazioni differenziali.
L'influenza di $k$ si evidenziava nelle condizioni al contorno.
Bye.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo