[Automazione]Domanda su Movimento dello Stato
Salve a tutti , il movimento dello stato in un sistema dinamico a tempo continuo è rappresentato solitamente con x(t) e dipende da :
- t (tempo)
- x0 (condizione iniziale)
- u[0,t) (ingresso dall'istante iniziale a t non compreso )
Quello che non ho capito è perchè l'ingresso va considerato da 0 compreso a t non compreso ?
Grazie
- t (tempo)
- x0 (condizione iniziale)
- u[0,t) (ingresso dall'istante iniziale a t non compreso )
Quello che non ho capito è perchè l'ingresso va considerato da 0 compreso a t non compreso ?
Grazie
Risposte
Secondo le mie conoscenze il movimento dello stato di un sistema dinamico a tempo continuo, non necessariamente lineare e tempo invariante è rappresentato dalla coppia di equazioni:
\( \dot{x}(t) = f\left(x(t), u(t), t\right) \)
\(x(t=0^+) = x_0\)
dove \(x, x_0, \dot{x} \in \mathbb{R}^n\) con \(n\) ordine del sistema, \(u \in \mathbb{R}^p \) e \(f:\mathbb{R}^{n+p+1}\rightarrow \mathbb{R}^n \).
Ovviamente nel caso di sistema lineare:
\( \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)\) con \(A(t),B(t)\) matrici di opportune dimensioni.
Nel caso di sistema tempo invariante:
\( \dot{x}(t) = f(x(t), u(t) \)
cioè il movimento dello stato non dipende 'direttamente' dal tempo, ma la dipendenza dal tempo è 'nascosta' in quella dagli altri due parametri.
Infine, mettendo assieme entrambe le condizioni, per un sistema lineare a tempo invariante (LTI):
\( \dot{x}(t) = f\left(x(t), u(t), t\right) = Ax(t) + Bu(t)\)
In ogni caso non vedo come la terza affermazione che hai riportato possa sposarsi con questa definizione.
\( \dot{x}(t) = f\left(x(t), u(t), t\right) \)
\(x(t=0^+) = x_0\)
dove \(x, x_0, \dot{x} \in \mathbb{R}^n\) con \(n\) ordine del sistema, \(u \in \mathbb{R}^p \) e \(f:\mathbb{R}^{n+p+1}\rightarrow \mathbb{R}^n \).
Ovviamente nel caso di sistema lineare:
\( \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)\) con \(A(t),B(t)\) matrici di opportune dimensioni.
Nel caso di sistema tempo invariante:
\( \dot{x}(t) = f(x(t), u(t) \)
cioè il movimento dello stato non dipende 'direttamente' dal tempo, ma la dipendenza dal tempo è 'nascosta' in quella dagli altri due parametri.
Infine, mettendo assieme entrambe le condizioni, per un sistema lineare a tempo invariante (LTI):
\( \dot{x}(t) = f\left(x(t), u(t), t\right) = Ax(t) + Bu(t)\)
In ogni caso non vedo come la terza affermazione che hai riportato possa sposarsi con questa definizione.
Vorrei integrare la mia opinione a quella di Vexx.
Direi che, siccome parliamo comunque di sistemi fisicamente realizzabili e quindi strettamente propri, l'uscita non puo' essere direttamente funzione dell'istante attuale dell'ingresso.
E quindi viene escluso l'istante $t$ da $u[0,t]$ che diventa $u[0,t)$.
Nella rappresentazione di stato con le matrici $A, B, C, D$, questo significa che $D=0$.
In pratica, l'uscita non puo' reagire a tempo nullo in base a quello che fa l'ingresso, ma ci vuole sempre un qualche ritardo.
Una giustificazione puo' essere che tutti i sistemi fisici, in qualche modo, hanno una parte integrale, e quindi non reagiscono istantaneamente all'ingresso per loro costruzione.
Come estrema ratio, puoi anche pensare che in un sistema fisico l'ingresso e l'uscita sono comunque separate da una certa distanza e quindi l'informazione dell'ingresso, anche se viaggiasse alla velocita' della luce, impiegherebbe un tempo finito prima di influenzare l'uscita.
Direi che, siccome parliamo comunque di sistemi fisicamente realizzabili e quindi strettamente propri, l'uscita non puo' essere direttamente funzione dell'istante attuale dell'ingresso.
E quindi viene escluso l'istante $t$ da $u[0,t]$ che diventa $u[0,t)$.
Nella rappresentazione di stato con le matrici $A, B, C, D$, questo significa che $D=0$.
In pratica, l'uscita non puo' reagire a tempo nullo in base a quello che fa l'ingresso, ma ci vuole sempre un qualche ritardo.
Una giustificazione puo' essere che tutti i sistemi fisici, in qualche modo, hanno una parte integrale, e quindi non reagiscono istantaneamente all'ingresso per loro costruzione.
Come estrema ratio, puoi anche pensare che in un sistema fisico l'ingresso e l'uscita sono comunque separate da una certa distanza e quindi l'informazione dell'ingresso, anche se viaggiasse alla velocita' della luce, impiegherebbe un tempo finito prima di influenzare l'uscita.
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