[Automazione, Controlli Automatici] Sistema LTI
Buonasera, dato un sistema lineare tempo invariante retto da questa E.D :
$(d^2y)/dt^2 + 2dy/dt+ 2y=u(t)$dove u(t)=t*1(t) mi viene chiesto di determinare l'uscita del sistema all'ingresso u(t) a partire dalle condizioni iniziali $y(0)=1 ,y'(0)=0$
Procedo in questo modo: la risposta totale $y(t)=y_l(t)+y_f (t) $ ovvero la somma della risposta libera più quella forzata.Quindi antitrasformando ottengo $Y_l(s)=(s+2)/(s^2+2s+2) $ dove ho fatto la trasformata della ED andando a sostituire le condizioni iniziali e ponendo u(t)=0, e $Y_f(s)=(1/(s^2+2s+2)*1/s^2)$ ottenuta facendo sempre l'antitrrasformata dell'ED ma senza considerare le condizioni iniziali ma ponendo $u(t)= t*1(t)$. Quindi ottengo che la risposta totale è $Y(s)=(s+3)/(s^2+2s+2)$ cioè la somma, quindi $y(t)=(cos(t)e^(-t) +2sin(t)e^(-t))*1(t)$
Vorrei sapere se il modo con cui ho ragionato è corretto e se ho commesso eventuali errori. Grazie
$(d^2y)/dt^2 + 2dy/dt+ 2y=u(t)$dove u(t)=t*1(t) mi viene chiesto di determinare l'uscita del sistema all'ingresso u(t) a partire dalle condizioni iniziali $y(0)=1 ,y'(0)=0$
Procedo in questo modo: la risposta totale $y(t)=y_l(t)+y_f (t) $ ovvero la somma della risposta libera più quella forzata.Quindi antitrasformando ottengo $Y_l(s)=(s+2)/(s^2+2s+2) $ dove ho fatto la trasformata della ED andando a sostituire le condizioni iniziali e ponendo u(t)=0, e $Y_f(s)=(1/(s^2+2s+2)*1/s^2)$ ottenuta facendo sempre l'antitrrasformata dell'ED ma senza considerare le condizioni iniziali ma ponendo $u(t)= t*1(t)$. Quindi ottengo che la risposta totale è $Y(s)=(s+3)/(s^2+2s+2)$ cioè la somma, quindi $y(t)=(cos(t)e^(-t) +2sin(t)e^(-t))*1(t)$
Vorrei sapere se il modo con cui ho ragionato è corretto e se ho commesso eventuali errori. Grazie
Risposte
Nessuno ? :/
Temo ci sia un errore: la funzione $y(t)$ riportata non soddisfa la condizione relativa alla derivata prima che deve valere zero nell’origine.
Credo che l’errore si trovi nella $Y(s)$ e probabilmente nella combinazione fra la soluzione libera e quella forzata.
Credo che l’errore si trovi nella $Y(s)$ e probabilmente nella combinazione fra la soluzione libera e quella forzata.
Grazie mille per la risposta. Ho ricontrollato i calcoli e credo che $Y_l$ e $Y_f$ li abbia svolti bene. Ho svolto in maniera errata la somma che mi esce $ Y(s) = (s^3+2s^2+1)/(s^2(s^2+2s+2)$ ma non si annulla neanche in questo caso 
. Dove ho sbagliato ? 
grazie per la disponibilità
. Dove ho sbagliato ? grazie per la disponibilità
Infatti. L'espressione di $Y(s)$ è quella: prova ora a scomporre in fratti semplici e troverai la funzione $y(t)$ corretta.
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