[Automazione, Controlli Automatici] Errore 3db diagramma Bode

[gargio]

Qualcuno saprebbe spiegarmi il motivo (geometrico/matematico) per cui passando dal diagramma di Bode asintotico del modulo a quello reale si ha un errore (massimo) di 3db?
Grazie mille.

[Giux1]

Dunque ti faccio l'esempio su un caso semplice, tanto il discorso vale in generale

Cosideriamo ad esempio un fattore con uno polo reale stabile della forma

$ 1 / (1 + j\omega\tau)$

dove
$ \tau $ per definizione è la costante di tempo associata al polo $p$
$\tau = 1/\abs(p)$

ora si considera la pulsazione di taglio $\omega_c = 1/\tau$

quindi il polo si puo riscrivere in termini della pulsazione di taglio
$ 1 / (1 + j\omega/\omega_c)$

Ebbene; approssimiamo ora il diagramma di Bode dei moduli per spezzate
quindi ricordiamoci della definizione di decibel

$|X|_(db) = 20Log(|X|)$

quindi applichiamo la definizione al nostro fattore polo reale

$|1 / (1 + j\omega/\omega_c)|_(db) = 20Log(|1 / (1 + j\omega/\omega_c)|) =-20Log(\sqrt(1+(\omega/\omega_c)^2))$

ora (qui entra in gioco l'approssimazione) quando $\omega/\omega_c < < 1 $ (è questo significa che sei parecchio a sinistra della pulsazione di taglio $\omega_c$

prevale l'$1$ quindi approssimo ed ottengo

$|1 / (1 + j\omega/\omega_c)|_(db) ~= 20Log(|1|) = 0_(db)$

se viceversa
$\omega/\omega_c > > 1 $ (è questo significa che sei parecchio a destra della pulsazione di taglio $\omega_c$
prevale $\omega/\omega_c$ quindi

$|1 / (1 + j\omega / \omega_c)|_(db) ~= -20Log(|j\omega/\omega_c|) = -20Log(\sqrt(\omega/\omega_c)^2) =
-20Log(\omega/\omega_c)_(db)$ ed hai la retta con pendenza a $-20_(db)$ come nella foto che ti ho linkato(grafico dei moduli in alto)


[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Cutoff_frequency#/media/File:Butterworth_response.svg[/url]

Ora (perdonami se ho fatto questo riassunto ma mi serviva per inquadrare il tutto ) rispondo alla tua domanda
se valuti il modulo in decibel per $\omega = \omega_c$ proprio nella pulsazione di taglio (o di rottura) - dove c'è il "punto angoloso-per intendersi" - "senza approssimare"
ottieni :

$|1 / (1 + j\omega_c/\omega_c)|_(db) = 20Log(1/\sqrt(2)) = 20Log(\~= 0,707) = -3_(db)$

sul diagramma dei moduli puoi notare che il massimo scostamento
tra la curva effettiva e la sua approssimazione per spezzate si ha effettivamente in corrispondenza della pulsazione
di taglio(nel grafico la chiama cutoff frequency).

Si usa infatti definire anche la pulsazione di taglio spesse volte come pulsazione a $3 dB$.

[gargio]

Che dire, spiegazione perfetta!
La funzione di trasferimento presa in considerazione è un filtro passa-basso, giusto? Ma ovviamente il ragionamento dovrebbe essere uguale anche per fdt più complicate.
Quindi possiamo dire che l'errore è di massimo $3db$ (anche se si considera sempre al valore massimo mi sembra) e che è sempre in corrispondenza della pulsazione di taglio?
Grazie mille per la precisione.

[Giux1]

Esatto è un passabasso, puoi notare anche la banda passante(bandwitch) che corrisponde a tutte le pulsazioni a sinistra
della pulsazione di taglio $\omega_c$ cioè a tutte le pulsazioni che non vengono attenuate sotto i $3db$, invece le pulazioni a destra di $\omega_c$ vengono attenuate o filtrate.

Sisi vale in generale (esclusi fenomeni di risonanza ovviamente) l'errore massimo è proprio di $3db$ a meno che non usi un'altra definizione di decibel con un logaritmo differente ma è raro. Grazie

[gargio]

Perfetto, grazie ancora