[Automatica] Modi di evoluzione libera e calcolo dei coefficienti
Mi si chiede di calcolare i modi di evoluzione libera di un sistema e vorrei sapere se il procedimento adottato è corretto.
1. Calcolo la trasformata del sistema;
2. Ricavo la funzione di trasferimento;
3. Calcolo la risposta al gradino unitario;
4. Antitrasformo
A questo punto i modi dovrebbero essere quelli di tipo polinomial-esponenziali $e^(x*t)$ oppure $(a*sin(q*t)+b*sin(q*t))*e^(x*t)$
Se fin qui è corretto, passerei ad esporre il problema di tipo pratico:
Mi ritrovo nell'esercizio con un modo di tipo esponenziale (che genera dunque un fratto del tipo $1/((s-p_i)^n)$) e uno con segnali armonici (che genera un termine trinomio). Voglio isolare i modi dividendo per i coefficienti.
Mentre sull'applicazione del metodo di Heaviside per quanto riguarda il primo tipo non ho problemi (calcolo il coefficiente per poi isolare il modo esponenziale), mi trovo in difficoltà sul calcolo del coefficiente del termine trinomio.
Come bisogna procedere? Potete farmi un esempio?
1. Calcolo la trasformata del sistema;
2. Ricavo la funzione di trasferimento;
3. Calcolo la risposta al gradino unitario;
4. Antitrasformo
A questo punto i modi dovrebbero essere quelli di tipo polinomial-esponenziali $e^(x*t)$ oppure $(a*sin(q*t)+b*sin(q*t))*e^(x*t)$
Se fin qui è corretto, passerei ad esporre il problema di tipo pratico:
Mi ritrovo nell'esercizio con un modo di tipo esponenziale (che genera dunque un fratto del tipo $1/((s-p_i)^n)$) e uno con segnali armonici (che genera un termine trinomio). Voglio isolare i modi dividendo per i coefficienti.
Mentre sull'applicazione del metodo di Heaviside per quanto riguarda il primo tipo non ho problemi (calcolo il coefficiente per poi isolare il modo esponenziale), mi trovo in difficoltà sul calcolo del coefficiente del termine trinomio.
Come bisogna procedere? Potete farmi un esempio?
Risposte
Non ci ho capito molto... poi cos'è il coefficiente del termine trinomio ?
"Quinzio":
Non ci ho capito molto... poi cos'è il coefficiente del termine trinomio ?
Cerco di spiegarmi meglio, per quanto possibile.
Devo isolare i modi di evoluzione libera di una funzione di trasferimento.
Ho letto che il modo migliore per metterli in evidenza è studiare la risposta al gradino unitario.
Calcolatala ed applicata l'espansione in fratti semplici, nel dominio del tempo si ha in generale $y(t)=y_(libera)(t)+coefficiente_1*modo_1+coefficiente_2*modo_2+...$
Voglio calcolare i coefficienti dei vari modi partendo dal dominio della trasformata di Laplace per poi dividere l'operando corrispondente nell'espressione precedente per esso ricavando il modo n.
Se in tale dominio ho un termine del tipo $1/((s−p_i)^n)$, so che il modo corrispondente sarà di tipo esponenziale e posso calcolare il relativo coefficiente $C_i$ adoperando il metodo di Heaviside.
Come devo comportarmi nel caso in cui siano presenti nel dominio del tempo seno e coseno, che si traducono nel dominio della trasformata in un cosiddetto termine trinomio $(beta_1*s+beta_2)/(s^2+alpha_1*s+alpha_2)$?
Se hai un termina di questo tipo:
\[ \frac{\beta_1s+\beta_2}{s^2+\alpha_1s+\alpha_2} \]
un modo per antitrasformarlo consiste nel ricondursi alle trasformate note di seno e coseno.
Primo passaggio:
\[ \frac{\beta_1s+\beta_2}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
poi:
\[ \beta_1 \frac{s+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
e quindi:
\[ \beta_1 \frac{s +\frac{\alpha_1}{2} - \frac{\alpha_1}{2}+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
separando le due parti:
\[
\beta_1 \frac{s +\frac{\alpha_1}{2} }{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2}
+
\beta_1 \frac{ - \frac{\alpha_1}{2}+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2}
\]
ci si ritrova con due termini; il primo è una sinusoide smorzata, il secondo è una cosinusoide smorzata, che si possono antitrasformare con le formule note.
\[ \frac{\beta_1s+\beta_2}{s^2+\alpha_1s+\alpha_2} \]
un modo per antitrasformarlo consiste nel ricondursi alle trasformate note di seno e coseno.
Primo passaggio:
\[ \frac{\beta_1s+\beta_2}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
poi:
\[ \beta_1 \frac{s+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
e quindi:
\[ \beta_1 \frac{s +\frac{\alpha_1}{2} - \frac{\alpha_1}{2}+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2} \]
separando le due parti:
\[
\beta_1 \frac{s +\frac{\alpha_1}{2} }{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2}
+
\beta_1 \frac{ - \frac{\alpha_1}{2}+\frac{\beta_2}{\beta_1}}{(s+ \frac{\alpha_1}{2})^2+\alpha_2 - (\frac{\alpha_1}{2})^2}
\]
ci si ritrova con due termini; il primo è una sinusoide smorzata, il secondo è una cosinusoide smorzata, che si possono antitrasformare con le formule note.
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