[Automatica] legame ingresso/uscita

[NicolaPez]

Ciao a tutti, pongo una domanda forse banale ma che non riesco a risolvere:

Ho un controllore C(z) con formula $(z^4 - 0.6*z^3 + 0.08*z^2)/(z^4 - z^2)$

Mi viene chiesto, citando il testo: "Presentare l'espressione nel tempo del legame esistente tra ingresso e uscita di
C(z).". Non so come procedere, cosa dovrei fare? Grazie dell'aiuto.

[gargio]

La formula del controllore è la funzione di trasferimento, quindi è già il legame stesso tra ingresso e uscita. Devi quindi scomporre come somma di fratti semplici e poi anti-trasformare nel tempo con le trasformate note di Laplace.
Un po' sintetico ma spero di esser stato chiaro

Una cosa del genere per quanto riguarda la scomposizione:
http://www.****.it/forum/analisi-com ... place.html

[NicolaPez]

Grazie, posso chiederti di essere più analitico? scusa ma non faccio questa roba da anni, sono un fuoricorso record, non ho più grande dimestichezza con le antitrasformate. Ero arrivato ad un punto del genere:

[size=150]e[/size]k+4[size=150]-0.6 e[/size]k+3[size=150]+0.08e[/size]k+2[size=150]=+u[/size] k+4[size=150]-u[/size] k+2

dove ho eguagliato la formula del controllore al rapporto u/e.
Ha senso?

[gargio]

Anch'io sono un po' arrugginito, riusciresti a postare tutti i calcoli in modo da vedere meglio la strada che hai seguito?

[NicolaPez]

ciao, ho cambiato strada perchè l'altra non mi portava a nulla di buono. Ora, sono partito da:

$ (z^4-0.6*z^3+0.08*z^2)/(z^4-z^2)$

applicando la tecnica per le funzioni omogenee arrivo a:

$ 1- (0.6*z^3-1.08*z^2)/(z^4-z^2) $

visto che dovrò tradurre tutto nel tempo metto da parte l' 1 e dovrei continuare il calcolo su

$-(0.6*z^3-1.08*z^2)/(z^4-z^2) $

penso di dover usare Heavyside ma qui mi fermo pechè non mi è chiarissima la tecnica.

[NicolaPez]

penso di esserci, proseguendo con i calcoli mi scompare uno $z^2$ (cosa che mi spaventa essendo nel campo dei controlli, ma forse è giusto così) e ottengo che:

$ C(z) = 1-0.84/(z+1)+0.24/(z-1) $

e antitrasformando avrò

$ C(t) = d(t) - 0.84*e^(-t) +0.24*e^t $

può aver senso?

[gargio]

Direi di sì, mi sembra corretto

[D4lF4zZI0]

Mi permetto di intervenire dicendo che state confondendo la trasformazione zeta con quella di Laplace; infatti: $C(z)$ è la trasformata zeta di una funzione ( da trovare ) del tipo $c(nT)$.
A tal fine si può scrivere:
$ C(z) = (z^4-0.6z^3+0.08z^2)/(z^4-z^2) = (1-0.6z^(-1)+0.08z^(-2))/((1-z^(-1))(1+z^(-1))) = ... = -0.08+0.23/(1-z^(-1)) +0.85/((1+z^(-1)) $
La cui antitrasformata è la funzione discreta:
$ c(nT)=-0.08delta (nT)+0.23eta (nT)+0.85( ( -1 ),( nT ) ) $

[gargio]

Avendo fatto solo la trasformata di Laplace avevo dato per scontato che le $z$ fossero solo un'altra notazione per le $s$ di Laplace. Grazie per la precisazione, come non detto.

[D4lF4zZI0]

Generalmente con $z$ si rappresenta la trasformazione zeta mentre con $s$ quella di Laplace.
Ricontrolla l'esercizio cercando di capire a quale delle due si riferisce

[NicolaPez]

"D4lF4zZI0":Mi permetto di intervenire dicendo che state confondendo la trasformazione zeta con quella di Laplace; infatti: $C(z)$ è la trasformata zeta di una funzione ( da trovare ) del tipo $c(nT)$.
A tal fine si può scrivere:
$ C(z) = (z^4-0.6z^3+0.08z^2)/(z^4-z^2) = (1-0.6z^(-1)+0.08z^(-2))/((1-z^(-1))(1+z^(-1))) = ... = -0.08+0.23/(1-z^(-1)) +0.85/((1+z^(-1)) $
La cui antitrasformata è la funzione discreta:
$ c(nT)=-0.08delta (nT)+0.23eta (nT)+0.85( ( -1 ),( nT ) ) $

cavolo, forse hai ragione, infatti qualcosa non mi tornava.
Posso solo chiederti dei dettagli sulla notazione? con T intendi il passo di campionamento giusto? quella n cosa rappresenta, un moltiplicatore naturale? e l'ultimo fattore, $ 0.85( ( -1 ),( nT ) ) $ cos'è?

[NicolaPez]

ok, i tuoi conti mi tornato, ma sbaglio quelle trasformate nei tempi diventano un impulso e due gradini che, a salvo dei moltiplicatori, sono uno anticipato e uno ritardato?

[NicolaPez]

il mio risultato finale è:

$ C(t) = -0.08*d(t) + 0.24*t + 0.84*e^(-t) $

Ha senso? dalle tabelle di conversione Z-tempo continuo mi pare sia questo il risultato.

[D4lF4zZI0]

"NicolaPez":il mio risultato finale è:

$ C(t) = -0.08*d(t) + 0.24*t + 0.84*e^(-t) $

Ha senso? dalle tabelle di conversione Z-tempo continuo mi pare sia questo il risultato.

Direi che non ha senso in quanto, ammesso che i calcoli siano giusti, ti sei limitato a fare l'antitrasformata di Laplace, ma è chiaro che è una trasformata zeta e che, quindi, segue altre regole
In ogni caso, mi sono riferito a questa tabella:
http://robot2.disp.uniroma2.it/~grassel ... abelle.pdf