[Automatica] Aiuto nel calcolo dei poli e della f.d.t.
Salve,
sto preparando l'esame di controlli automatici e sto facendo un po' fatica ad entrare nell'ottica della materia.
In particolare ho un esercizio dove l'equazione di un sistema meccanico è data da:
$m^2 * D^4(x) + 3*b*m * D^3(x) + (3*k*m + b^2) D^2(x) + 2*k*b * D(x) + k^2 * x = m * D^2(f) + b * D(f) + k*f$
dove x è una posizione nello spazio monodimensionale e f una forza.
Devo trovare la funzione di trasferimento G(s). Ho la soluzione, in pratica alla fine risulta una frazione dove al numeratore c'è il secondo termine dell'equazione qui sopra, al denominatore c'è il primo termine e al posto delle $D^n (x)$ o $D^n(f)$ ci sono delle $s^n$.
Tutto molto bello.... ma non mi spiego proprio come si arriva a questo risultato.
Inoltre, secondo la definizione di f.d.t. che ho letto su qualche sito, essa è il rapporto tra l'entrata e l'uscita del sistema. Quindi dovrei considerare qui la forza come l'entrata e la posizione come la posizione finale assunta dalla massa su cui la forza agisce?
Un secondo problema è dato dall'uscita di un circuito elettrico, calcolata come segue: $[R / (1 + R*C*s) ] / [2*R + R * (1 + R*C*s)]$.
Sono richieste la G(s), i poli, i modi e l'equazione differenziale che descrive il sistema.
Qui va ancora peggio, perchè non so cosa considerare come entrata e dato che l'equazione di uscita non è differenziale, come faccio a calcolare l'equazione differenziale?
Non pretendo le soluzioni, ma se qualcuno potesse spiegarmi qualitativamente come procedere per svolgere in generale questi problemi gliene sarei molto grato.
Grazie.
sto preparando l'esame di controlli automatici e sto facendo un po' fatica ad entrare nell'ottica della materia.
In particolare ho un esercizio dove l'equazione di un sistema meccanico è data da:
$m^2 * D^4(x) + 3*b*m * D^3(x) + (3*k*m + b^2) D^2(x) + 2*k*b * D(x) + k^2 * x = m * D^2(f) + b * D(f) + k*f$
dove x è una posizione nello spazio monodimensionale e f una forza.
Devo trovare la funzione di trasferimento G(s). Ho la soluzione, in pratica alla fine risulta una frazione dove al numeratore c'è il secondo termine dell'equazione qui sopra, al denominatore c'è il primo termine e al posto delle $D^n (x)$ o $D^n(f)$ ci sono delle $s^n$.
Tutto molto bello.... ma non mi spiego proprio come si arriva a questo risultato.
Inoltre, secondo la definizione di f.d.t. che ho letto su qualche sito, essa è il rapporto tra l'entrata e l'uscita del sistema. Quindi dovrei considerare qui la forza come l'entrata e la posizione come la posizione finale assunta dalla massa su cui la forza agisce?
Un secondo problema è dato dall'uscita di un circuito elettrico, calcolata come segue: $[R / (1 + R*C*s) ] / [2*R + R * (1 + R*C*s)]$.
Sono richieste la G(s), i poli, i modi e l'equazione differenziale che descrive il sistema.
Qui va ancora peggio, perchè non so cosa considerare come entrata e dato che l'equazione di uscita non è differenziale, come faccio a calcolare l'equazione differenziale?
Non pretendo le soluzioni, ma se qualcuno potesse spiegarmi qualitativamente come procedere per svolgere in generale questi problemi gliene sarei molto grato.
Grazie.
Risposte
Dalle regole relative alla trasformata di Laplace [tex]$\int_0^{+\infty} \frac{d}{dx}(u(x)) e^{-sx} dx = sU(s) - u(0)$[/tex], iterando il procedimento (si integra per parti), si possono vedere che alla derivata $n-esima$ corrisponde la potenza $n-esima$ della variabile [tex]$s$[/tex].
Nel caso particolare in cui le condizioni iniziali siano nulle (nel caso di sistemi lineari grazie al principio di sovrapposizione degli effetti possiamo trascurarle), si definisce la funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso (intendendo con condizioni iniziali del sistema nulle!)
Nel tuo caso, appliando la trasformata di Laplace all'equazione si ottiene [tex]$(m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2)X(s) = (ms^2 + bs + k)F(s)$[/tex]
quindi la funzione di trasferimento è il rapporto [tex]$G(s)=\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{ms^2 + bs + k}{m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2}$[/tex]
Per il secondo problema, dato che non viene descritto quale sia l'ingresso non puoi operativamente fare nulla. Comunque supponendo di avere [tex]$U(s)$[/tex], allora [tex]$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$[/tex].
Da questa, ricavi i poli cercando le soluzioni del denominatore di [tex]$G(s)$[/tex] (dopo averla scritta come rapporto semplice tra due polinomi), chiamati [tex]$p_i$[/tex] i poli del sistema, i modi associati sono [tex]$e^{p_i t}$[/tex], infine per ricostruire l'equazione differenziale, se [tex]$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$[/tex], dove [tex]$N(s)$[/tex] e [tex]$D(s)$[/tex], sono i polinom che costituiscono il rapporto, allora l'equazione associata è [tex]$D(s) Y(s) = N(s) U(s)$[/tex], quindi puoi antitrasformare ricordando che [tex]$s^n X(s) = D^n[x]$[/tex](dato che le condizioni iniziali sono nulle)
Nel caso particolare in cui le condizioni iniziali siano nulle (nel caso di sistemi lineari grazie al principio di sovrapposizione degli effetti possiamo trascurarle), si definisce la funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso (intendendo con condizioni iniziali del sistema nulle!)
Nel tuo caso, appliando la trasformata di Laplace all'equazione si ottiene [tex]$(m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2)X(s) = (ms^2 + bs + k)F(s)$[/tex]
quindi la funzione di trasferimento è il rapporto [tex]$G(s)=\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{ms^2 + bs + k}{m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2}$[/tex]
Per il secondo problema, dato che non viene descritto quale sia l'ingresso non puoi operativamente fare nulla. Comunque supponendo di avere [tex]$U(s)$[/tex], allora [tex]$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$[/tex].
Da questa, ricavi i poli cercando le soluzioni del denominatore di [tex]$G(s)$[/tex] (dopo averla scritta come rapporto semplice tra due polinomi), chiamati [tex]$p_i$[/tex] i poli del sistema, i modi associati sono [tex]$e^{p_i t}$[/tex], infine per ricostruire l'equazione differenziale, se [tex]$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$[/tex], dove [tex]$N(s)$[/tex] e [tex]$D(s)$[/tex], sono i polinom che costituiscono il rapporto, allora l'equazione associata è [tex]$D(s) Y(s) = N(s) U(s)$[/tex], quindi puoi antitrasformare ricordando che [tex]$s^n X(s) = D^n[x]$[/tex](dato che le condizioni iniziali sono nulle)
"Ska":
Dalle regole relative alla trasformata di Laplace [tex]$\int_0^{+\infty} \frac{d}{dx}(u(x)) e^{-sx} dx = sU(s) - u(0)$[/tex], iterando il procedimento (si integra per parti), si possono vedere che alla derivata $n-esima$ corrisponde la potenza $n-esima$ della variabile [tex]$s$[/tex].
Nel caso particolare in cui le condizioni iniziali siano nulle (nel caso di sistemi lineari grazie al principio di sovrapposizione degli effetti possiamo trascurarle), si definisce la funzione di trasferimento il rapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso (intendendo con condizioni iniziali del sistema nulle!)
Nel tuo caso, appliando la trasformata di Laplace all'equazione si ottiene [tex]$(m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2)X(s) = (ms^2 + bs + k)F(s)$[/tex]
quindi la funzione di trasferimento è il rapporto [tex]$G(s)=\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{ms^2 + bs + k}{m^2 s^4 + 3bm s^3 + (3km + b^2) s^2 + 2kb s + k^2}$[/tex]
Per il secondo problema, dato che non viene descritto quale sia l'ingresso non puoi operativamente fare nulla. Comunque supponendo di avere [tex]$U(s)$[/tex], allora [tex]$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$[/tex].
Da questa, ricavi i poli cercando le soluzioni del denominatore di [tex]$G(s)$[/tex] (dopo averla scritta come rapporto semplice tra due polinomi), chiamati [tex]$p_i$[/tex] i poli del sistema, i modi associati sono [tex]$e^{p_i t}$[/tex], infine per ricostruire l'equazione differenziale, se [tex]$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$[/tex], dove [tex]$N(s)$[/tex] e [tex]$D(s)$[/tex], sono i polinom che costituiscono il rapporto, allora l'equazione associata è [tex]$D(s) Y(s) = N(s) U(s)$[/tex], quindi puoi antitrasformare ricordando che [tex]$s^n X(s) = D^n[x]$[/tex](dato che le condizioni iniziali sono nulle)
Ska ti ringrazio molto.
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