Antitrasformata di Fourier di questo segnale?
Ciao a tutti,
Devo calcolare la correlazione tra i segnali x(t) avente come trasformata di Fourire $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2}$ e il segnale $y(t)=\delta(t+10)-\delta(t-10)$
Ho pensato di calcolare x(t) e poi fare la correlazione secondo la definizione: $R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{\star}(t) y(t+\tau) dt$
Quindi l'ostacolo principale da rimuovere è trovare x(t).
Guardando X(f) salta all'occhio che ci siano quadrati al numeratore e al denominatore e che il denominatore assomigli tanto alla trasformata di $e^{-\alpha t} u(t)$
Quindi: $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2} = |\frac{4}{2+j2\pi f}|^2 $ però non so cosa cavarne fuori.
Potreste aiutarmi?
Devo calcolare la correlazione tra i segnali x(t) avente come trasformata di Fourire $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2}$ e il segnale $y(t)=\delta(t+10)-\delta(t-10)$
Ho pensato di calcolare x(t) e poi fare la correlazione secondo la definizione: $R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{\star}(t) y(t+\tau) dt$
Quindi l'ostacolo principale da rimuovere è trovare x(t).
Guardando X(f) salta all'occhio che ci siano quadrati al numeratore e al denominatore e che il denominatore assomigli tanto alla trasformata di $e^{-\alpha t} u(t)$
Quindi: $X(f)= \frac{16}{4+(2\pi f)^2} = |\frac{4}{2+j2\pi f}|^2 $ però non so cosa cavarne fuori.
Potreste aiutarmi?
Risposte
Non perdiamoci in un bicchier d'acqua. Esiste la seguente trasformata notevole:
$F{e^(-b|t|)}=(2b)/(b^2+(2\pif)^2)$
da cui per b=2
$F{e^(-2|t|)}=(4)/(4+(2\pif)^2)$
ovvero
$F^(-1){16/(4+(2\pif)^2)}=4e^(-2|t|)$
A questo punto
$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(t)y(t+\tau)dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)[\delta(t+\tau+10)-\delta(t+\tau-10)]dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(-10-\tau))dt-4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(10-\tau))dt=$
$=4[e^(-2|\tau+10|)-e^(-2|\tau-10|)]$
Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.
$F{e^(-b|t|)}=(2b)/(b^2+(2\pif)^2)$
da cui per b=2
$F{e^(-2|t|)}=(4)/(4+(2\pif)^2)$
ovvero
$F^(-1){16/(4+(2\pif)^2)}=4e^(-2|t|)$
A questo punto
$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(t)y(t+\tau)dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)[\delta(t+\tau+10)-\delta(t+\tau-10)]dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(-10-\tau))dt-4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(10-\tau))dt=$
$=4[e^(-2|\tau+10|)-e^(-2|\tau-10|)]$
Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.
Grazie! Non sapevo di questa trasformata.
Stavo pensando di fare così:
$X(f)=\frac{16}{4+(2\pif)^2}=\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$
quindi trovare i valori di A e B dal confronto tra i numeratori:
$16=A(2-j2\pi f) + B(2+j2\pi f)$
svolgo i calcoli a secondo membro e dico che
${( 2(A+B)=16),(j2\pi f(B-A)=0 ):}$
da cui si ricava che $A=B=4$
Così posso trovare x(t) anti-trasformando i due pezzi: $\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$
(quello con B al numeratore ha -f anziché f allora bisogna ricordare che X(-f) --> x(-t) )
Quindi sostanzialmente ho 2 esponenziali praticamente identici, solo che uno "scende" a zero, nel verso positivo delle t e l'altro (quello con u(-t) ) nel verso negativo delle t:
$x(t)=4{e^{-2t}u(t)+e^{2t}u(-t)}$
Così trovavo x(t), poi sono un altro paio di maniche per calcolare la correlazione $R_{}(\tau)=x*(t) \star h(t)$
Qui sotto il disegno dei due esponenziali, solo fai finta che non ci siano i prolungamenti al di sopra del punto di intersezione con l'asse delle ordinate.
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("e^(-x)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("e^(x)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
Stavo pensando di fare così:
$X(f)=\frac{16}{4+(2\pif)^2}=\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$
quindi trovare i valori di A e B dal confronto tra i numeratori:
$16=A(2-j2\pi f) + B(2+j2\pi f)$
svolgo i calcoli a secondo membro e dico che
${( 2(A+B)=16),(j2\pi f(B-A)=0 ):}$
da cui si ricava che $A=B=4$
Così posso trovare x(t) anti-trasformando i due pezzi: $\frac{A}{2+j2\pi f}+\frac{B}{2-j2\pi f}$
(quello con B al numeratore ha -f anziché f allora bisogna ricordare che X(-f) --> x(-t) )
Quindi sostanzialmente ho 2 esponenziali praticamente identici, solo che uno "scende" a zero, nel verso positivo delle t e l'altro (quello con u(-t) ) nel verso negativo delle t:
$x(t)=4{e^{-2t}u(t)+e^{2t}u(-t)}$
Così trovavo x(t), poi sono un altro paio di maniche per calcolare la correlazione $R_{}(\tau)=x*(t) \star h(t)$
Qui sotto il disegno dei due esponenziali, solo fai finta che non ci siano i prolungamenti al di sopra del punto di intersezione con l'asse delle ordinate.
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("e^(-x)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("e^(x)"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]
Ma infatti $e^(-2|t|)$ lo puoi vedere come $e^(-2t)$ per $t>=0$ e $e^(2t)$ per $t<0$ che è esattamente quello che hai scritto tu utilizzando la funzione scalino 
beh una volta ottenuta la antitrasformata non è poi così difficile determinare la correlazione. Ti ricordo, però, che la convoluzione non corrisponde alla correlazione (c'è un segno che fa differenza).
beh una volta ottenuta la antitrasformata non è poi così difficile determinare la correlazione. Ti ricordo, però, che la convoluzione non corrisponde alla correlazione (c'è un segno che fa differenza).
"K.Lomax":
Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.
Mi spiegheresti cosa intendi con quanto sopra ? (e' una mia curiosita' non una obiezione). Forse non capisco bene cosa chiami teorema di Parseval (io pensavo all'eguaglianza di
Parseval , che collega "l'energia" della funzione con quella della traformata). Grazie.
Chiedo scusa, ma in questo caso non sarebbe possibile calcorare Y(f) eseguire il prodotto X(f)Y(f) e poi antitrasformare?
Mi sembra piu' facile che fare una antitrasformata e una convoluzione...o no? Se dico un idiozia aiutatemi a guarire per favore...
Ho anche io qualche domanda sulle funzioni di autocorrelazione e le loro relazioni di I/O in un sistema LTI, posso aggiungerle qua' o e' meglio che apra una nuova discussione?
Mi sembra piu' facile che fare una antitrasformata e una convoluzione...o no? Se dico un idiozia aiutatemi a guarire per favore...
Ho anche io qualche domanda sulle funzioni di autocorrelazione e le loro relazioni di I/O in un sistema LTI, posso aggiungerle qua' o e' meglio che apra una nuova discussione?
@Vicious Goblin
L'uguaglianza di Parseval afferma che:
$\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)df$
dove nel caso particolare in cui consideri $y(t)=x(t)$ hai effettivamente un legame tra l'energia del segnale e la sua trasformata (che deve essere la stessa, come ovvio che sia). Adesso se io considero il mio segnale $y(t)=y(t+\tau)$ si ha:
$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t+\tau)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)e^(-j2\pif\tau)df$
quindi volendo potrei trasformare $y(t)$, nel nostro caso le due $\delta$, e procedere nel dominio della frequenza.
L'uguaglianza di Parseval afferma che:
$\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)df$
dove nel caso particolare in cui consideri $y(t)=x(t)$ hai effettivamente un legame tra l'energia del segnale e la sua trasformata (che deve essere la stessa, come ovvio che sia). Adesso se io considero il mio segnale $y(t)=y(t+\tau)$ si ha:
$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(\infty)x(t)y^*(t+\tau)dt=\int_(-\infty)^(\infty)X(f)Y^*(f)e^(-j2\pif\tau)df$
quindi volendo potrei trasformare $y(t)$, nel nostro caso le due $\delta$, e procedere nel dominio della frequenza.
@K.Lomax
Ho capito - grazie
Ho capito - grazie
"K.Lomax":
Ti ricordo, però, che la convoluzione non corrisponde alla correlazione (c'è un segno che fa differenza).
Si hai ragione, ma in questo caso x*(t)=x(t).
"TitusI":
Chiedo scusa, ma in questo caso non sarebbe possibile calcorare Y(f) eseguire il prodotto X(f)Y(f) e poi antitrasformare?
In effetti hai ragione, Y(f) introduce dei ritardi in X(f) perché $Y(f)=e^{j2\pi 10}-e^{-j2\pi 10}$. Quando si va ad antitrasformare $\bar{X} (f)Y(f)$ (il segno sopra X(f) ne indica il coniugato) basta introdurre un certo ritardo in x(t).
Però in frequenza andrebbe calcolato X*(f) che sostanzialmente cambia i segni a $j2\pif$ al denominatore dei 2 addendi:
$\frac{A}{2-j2\pif}+\frac{B}{2+j2\pif}$. Giusto (il fatto di cambiare segno)?
@hastings
Quando dico che la correlazione è diversa dalla convoluzione intendo dire che, nel primo caso, il segno del tempo è positivo; nel secondo caso, invece, è negativo. Questo (e si vede dalla trasformata) fa differenza. Quello che hai scritto tu $x(t)=x^*(t)$, ovvero il segnale uguale al suo coniugato, vale solo per segnali reali. Se vuoi calcolare la correlazione operando nel dominio della frequenza devi utilizzare la relazione di Parseval che ti ho indicato.
Quando dico che la correlazione è diversa dalla convoluzione intendo dire che, nel primo caso, il segno del tempo è positivo; nel secondo caso, invece, è negativo. Questo (e si vede dalla trasformata) fa differenza. Quello che hai scritto tu $x(t)=x^*(t)$, ovvero il segnale uguale al suo coniugato, vale solo per segnali reali. Se vuoi calcolare la correlazione operando nel dominio della frequenza devi utilizzare la relazione di Parseval che ti ho indicato.
"K.Lomax":
[...]
A questo punto
$R_(xy)(\tau)=\int_(-\infty)^(+\infty)x(t)y(t+\tau)dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)[\delta(t+\tau+10)-\delta(t+\tau-10)]dt=4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(-10-\tau))dt-4\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-2|t|)\delta(t-(10-\tau))dt=$
$=4[e^(-2|\tau+10|)-e^(-2|\tau-10|)]$
Ad ogni modo , qualora dovessi trovare problemi nell'effettuare la antitrasformata di un segnale, puoi sempre provare (anche se non è detto che sia agevole) a lavorare nel dominio della frequenza utilizzando il teorema di Parseval.
Quindi alla fine la correlazione tra i due segnali è $R_(xy)(\tau)=4[e^(-2|\tau+10|)-e^(-2|\tau-10|)]$?
Boh! Avrò capito male ma sapevo che la correlazione è
$R_{xy}(\tau)=x^\star(\tau) \otimes y(t) $ cioè si coniuga il primo dei due segnali menzionati nel pedice di R e l'altro si lascia così come'è. Si può dire che la correlazione tra x e y è la convoluzione tra il coniugato di x e il segnale y?
Si la correlazione che cercavi è quella.
Guarda sinceramente, ho cercato anche sul mio libro, e lui mi dà come coniugato il secondo segnale. Comunque una coniugazione non può esserti di ostacolo, soprattutto quando i segnali che consideri sono reali. (continua ad utilizzare la tua def).
La correlazione non è la stessa cosa della convoluzione. In particolare esiste il seguente legame: (la scrivo seguendo la tua definizione)
$R_(xy)(\tau)=x(t)\otimes y(t)=\int_(-\infty)^(\infty)x^*(t)y(t+\tau)dt=x^*(-t)\xxy(t)$
dove $\otimes$ e $\xx$ indicano per me la correlazione e la convoluzione.
Guarda sinceramente, ho cercato anche sul mio libro, e lui mi dà come coniugato il secondo segnale. Comunque una coniugazione non può esserti di ostacolo, soprattutto quando i segnali che consideri sono reali. (continua ad utilizzare la tua def).
La correlazione non è la stessa cosa della convoluzione. In particolare esiste il seguente legame: (la scrivo seguendo la tua definizione)
$R_(xy)(\tau)=x(t)\otimes y(t)=\int_(-\infty)^(\infty)x^*(t)y(t+\tau)dt=x^*(-t)\xxy(t)$
dove $\otimes$ e $\xx$ indicano per me la correlazione e la convoluzione.
Quindi, se non ho capito male, la correlazione tra x e y è uguale alla convoluzione tra il coniugato, ribaltato risp. all'asse delle ordinate (il -t ) del segnale x(t) e il segnale y(t).
E per quanto riguarda l'esercizio devo procedere così:
Se ho un h(t) del tipo "impulsi di dirac" e un X(f) che è la trasformata di un segnale $e^{-\alpha |t|}$ mi conviene antitrasformare X(f) e poi fare $R_{xy}(\tau)=\int_{-infty}^{+infty} x(t) y(t+\tau) dt$, ricordando che essendo x(t) un segnale reale, il suo coniugato coincide con x(t) stesso e che moltiplicare qualsiasi segnale per un dirac ritardato di $t_0$ equivale a ritardare x(t) di $t_0$, $x(t-t_0)$.
E così?
E per quanto riguarda l'esercizio devo procedere così:
Se ho un h(t) del tipo "impulsi di dirac" e un X(f) che è la trasformata di un segnale $e^{-\alpha |t|}$ mi conviene antitrasformare X(f) e poi fare $R_{xy}(\tau)=\int_{-infty}^{+infty} x(t) y(t+\tau) dt$, ricordando che essendo x(t) un segnale reale, il suo coniugato coincide con x(t) stesso e che moltiplicare qualsiasi segnale per un dirac ritardato di $t_0$ equivale a ritardare x(t) di $t_0$, $x(t-t_0)$.
E così?
Non è la moltiplicazione ma l'integrazione del prodotto che permette di poter asserire quello. Per convincerti di questo rivediti la proprietà della delta campionatrice.
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