Antenne massimi e minimi

[Ahi1]

Ho calcolato bene i massimi e minimi di questo esercizio?



Ho calcolato inizialmente la lunghezza d'onda come $lambda=(c/f)=(3*10^8/800*10^6)=0.38m$ ossia $38 cm$

il campo elettrico dipende dall'anltezza efficace dell'antenna infatti

$E=(j*(Z_0*I_0)/(2*lambda*r)*(e^(-jkr))*h(theta,phi))$

in questo caso l'antenna è di tipo corta essendo $l_1/lambda < < 1$

Per determinare i massimi e minimi procedo nel seguente modo

Trovo dove si annulla tale funzione $|h(theta,phi)|=0$

considerando il modulo dell'altezza efficace proporzionale a $sintheta$

$|h(theta,phi)|=|sintheta|=0$

ciò avverrà quando $theta=0+npi$
dunque i massimi si avranno per $theta=(pi/2)+npi$ e i minimi per $theta=0+n*pi$

Per la seconda parte del problema avremo che il campo elettrico incidente si calcolerà come la somma dei campi dell'antenna reale e dell'antenna duale e da quì si ricaverà che l'altezza efficace delle due antenne sarà

$h_2=h_T*(1+e^(-jk*2dcostheta))$

questa sarà pari a zero quando o $h_T=0$ o se $(1+e^(-jk*2dcostheta))=0$

riscriviamo la seguente $(1+e^(-jk*2dcostheta))=e^(-jkdcostheta)+[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]$

svolgendo si ha che $e^(-jkdcostheta)*2*cos(kdcostheta)$

per cui $e^(-jkdcostheta)*2*cos(kdcostheta)=0$ $=>$ $kdcostheta=0$

da cui ricavando $costheta=((lambda/4*d)+((n*lambda)/(2*d))$ $=>$ $-1<=((lambda/4*d)+((n*lambda)/(2*d))<=1$$ $=>$ e per cui $-1<=n<=0$

questa rappresenta la condizione matematica, per la condizione fisica bisogna togliere tutte le soluzioni per cui $theta>pi/2$, poiché siamo in presenza del piano conduttore.

Tutta ciò vale per i minimi per i massimi si deve considerare:
$k*d*costheta=n*pi$ $=>$ $costheta=(n*lambda)/(2*d)$ $=>$ $-1<=(n*lambda)/(2*d)<=1$

condizione matematica. per la condizione fisica $0<=(n*lambda)/(2*d)<=1$

Ci sono errori, devo cambiare qualcosa?

GRAZIE

[_luca.barletta]

la prima parte va bene.

Vediamo la seconda:

riscriviamo la seguente $(1+e^(-jk*2dcostheta))=e^(-jkdcostheta)+[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]$

sarebbe $(1+e^(-jk*2dcostheta))=e^(-jkdcostheta)*[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]$

svolgendo si ha che $e^(-jkdcostheta)*2*cos(kdcostheta)$

per cui $e^(-jkdcostheta)*2*cos(kdcostheta)=0$ $=>$ $kdcostheta=0$

per trovare i max e min devi considerare i moduli! in questo modo puoi mandare via l'exp complesso. E poi il cos si annulla quando il suo argomento è $pi/2+npi$.

[Ahi1]

Si infatti ho sbagliato non era più ma un meno....ma il professore ha fatto così in un esercitazione, non ha preso i moduli, lo so che non dovrei, però quì non so davvero dove correggere...

allora provando devo considerare il modulo di $|e^(-jkdcostheta)*[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]|$?

dopodiché viene $-jkdcostheta*(jkdcostheta+jkdcostheta)=-jkd*costheta(2jkdcostheta)$

a così??? Ma una volta fatta questa correzione il resto vabbene? O ci sono degli errori?

[_luca.barletta]

$|e^(-jkdcostheta)*[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]|=|e^(-jkdcostheta)|*|[e^(+jkdcostheta)+e^(-jkdcostheta)]|=|2cos(kdcostheta)|$

[Ahi1]

Ah si ok questo però se l'antenne efficaci sono uguali, ma se non lo fossero come dovrei procedere....però poi si procede come ho fatto per determinare le condizioni fisiche e matematiche?
GRAZIE

[_luca.barletta]

si poi il resto va bene. Nel caso generale devi studiare $|vecE_1+vecE_2|$, che poi in un problema di max o min si riduce allo studio di $|h_1+h_2|

[Ahi1]

significherebbe vedere dove

$|sintheta_1+sintheta_2|=0$ e questo accade per $theta_1,2=0+n*pi$

dunque i massimi si avranno per $theta=(pi/2)+n*pi$ mentre i minimi per $theta=0+n*pi$

così?

[_luca.barletta]

più semplicemente consideri la fattorizzazione

$h_2=h_T*(1+e^(-jk*2dcostheta))$

come hai fatto prima

[Ahi1]

l'unica differenza è che dovròconsiderare anche un $sintheta_s$ relativo all'antenna immagine per quando andrò a guardare $2cos(cos(theta_s))sintheta_s$

poi basta...