Analisi complessa
salve come faccio a determinare i numeri complessi z=x+iy dell'equazione cos z<-1?
vi ringrazio anticipatamente
vi ringrazio anticipatamente
Risposte
A parte che la domanda è posta malissimo (Cosa sono, di grazia, "i numeri complessi [tex]$z=x+\imath y$[/tex] dell'equazione [tex]$\cos z <-1$[/tex]"? Inoltre, ti rendi conto che [tex]$\cos z <-1$[/tex] non è affatto un'equazione?), ma la relazione [tex]$\cos z< -1$[/tex] è del tutto priva di significato per noi comuni mortali...
Medita un po' su queste questioni, così riuscirai a spiegare un po' meglio a te stesso ed a noi il problema.
Medita un po' su queste questioni, così riuscirai a spiegare un po' meglio a te stesso ed a noi il problema.
mi scuso x l'errore ovvero di aver scritto equazione al posto di disequazione ma cmq la relazione cos z<-1 è un esercizio lasciato in un compito di analisi matematica 3...quindi nn penso sia qualcosa priva di significato...grazie lo stesso x la risposta
Se interpretiamo [tex]$z$[/tex] come variabile complessa e la funzione [tex]$\cos z$[/tex] come l'estensione analitica del coseno a tutto il piano complesso, abbiamo in generale [tex]$\cos z\in \mathbb{C}$[/tex] (ciò segue dalla relazione [tex]$\cos z = \cos \text{Re} z\ \cosh \text{Im} z-\imath \sin \text{Re} z\ \sinh \text{Im} z$[/tex]).
Visto che il campo complesso non è ordinabile compatibilmente con la sua struttura algebrica (questa è una differenza fondamentale tra [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e [tex]$\mathbb{C}$[/tex]; in altre parole non si sa dare un "buon" significato alla scrittura [tex]$z<\zeta$[/tex] per [tex]$z,\zeta \in \mathbb{C}$[/tex]*), porre il problema di risolvere la disequazione [tex]$\cos z<-1$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] non ha senso.
Probabilmente quello che ti chiedeva l'esercizio era un po' diverso; ma per saperlo dovrei leggere tutto il testo.
__________
* Tuttavia si possono dare ordini "parziali", comunque non bellissimi (algebricamente parlando).
Visto che il campo complesso non è ordinabile compatibilmente con la sua struttura algebrica (questa è una differenza fondamentale tra [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e [tex]$\mathbb{C}$[/tex]; in altre parole non si sa dare un "buon" significato alla scrittura [tex]$z<\zeta$[/tex] per [tex]$z,\zeta \in \mathbb{C}$[/tex]*), porre il problema di risolvere la disequazione [tex]$\cos z<-1$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] non ha senso.
Probabilmente quello che ti chiedeva l'esercizio era un po' diverso; ma per saperlo dovrei leggere tutto il testo.
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* Tuttavia si possono dare ordini "parziali", comunque non bellissimi (algebricamente parlando).
Il testo dell'esercizio è proprio quello.Comunque un possibile tentativo potrebbe essere questo:
applicando le formule di addizione si ha
cos(x+iy)=cos x cos iy - sen x sen iy=cos x cosh y-i senx senh y
il cos z deve essere reale per cui si deve avere sen x senh y=0 e quindi y=0 oppure x=k pigreco
per y=0 penso che cos x <-1 non ammetta soluzioni
per x=k pigreco cos k pigreco cosh y= (-1)^k cosh y<-1
quindi le soluzioni dell'equazione sono 2k pigreco+iy , y diverso da zero?
Nelle risposte per favore non mi trattate come un pazzo scatenato che non capisce nulla di analisi di analisi matematica!!!!!
applicando le formule di addizione si ha
cos(x+iy)=cos x cos iy - sen x sen iy=cos x cosh y-i senx senh y
il cos z deve essere reale per cui si deve avere sen x senh y=0 e quindi y=0 oppure x=k pigreco
per y=0 penso che cos x <-1 non ammetta soluzioni
per x=k pigreco cos k pigreco cosh y= (-1)^k cosh y<-1
quindi le soluzioni dell'equazione sono 2k pigreco+iy , y diverso da zero?
Nelle risposte per favore non mi trattate come un pazzo scatenato che non capisce nulla di analisi di analisi matematica!!!!!
Non si tratta di "trattarti come un pazzo scatenato"... È la traccia dell'esercizio che non mi convince, poiché è ambigua, e ti ho spiegato semplicemente il perchè.
Tuttavia può effettivamente darsi che il vostro prof., quando scrive [tex]$\zeta <-1$[/tex], intenda implicitamente [tex]$\zeta \in \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$[/tex]: le notazioni non sono universali. In tale ipotesi la tua soluzione sembra quasi esatta: dovresti solo aver cura di prendere i valori dispari per [tex]$k$[/tex] ed [tex]$y\neq 0$[/tex], sicché troveresti [tex]$z=(2h+1)\pi + \imath y$[/tex] con [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex] ed [tex]$y\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex].
Tuttavia può effettivamente darsi che il vostro prof., quando scrive [tex]$\zeta <-1$[/tex], intenda implicitamente [tex]$\zeta \in \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$[/tex]: le notazioni non sono universali. In tale ipotesi la tua soluzione sembra quasi esatta: dovresti solo aver cura di prendere i valori dispari per [tex]$k$[/tex] ed [tex]$y\neq 0$[/tex], sicché troveresti [tex]$z=(2h+1)\pi + \imath y$[/tex] con [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex] ed [tex]$y\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex].
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