Aiuto Espressione analitica di risposta in frequenza Elettronica 1
Salve, sto completando la preparazione di elettronica 1, che include lo studio dei circuiti con mosfet oppure di filtri attivi con amplificatori operazionali.
Per quest'ultimo ho un dubbio su una domanda d'esame.
Dopo che ho ricavato la risposta in frequenza H(s) e i diagrammi di bode, mi chiede di trovare l'espressione analitica vo(t) data un'entrata di tensione vi(t)
Ad esempio, se ho la risposta in frequenza H(s)=-[(1+R2sC1)/R1sC1)], mi è stata data vi(t)=k*sin(wt), con k=100mV e w= 10^5 rad/sec:
converto il seno in Laplace, ovvero sin(s) = w^2/(s^2 + w^2)
Trovo vo(t) = H(s)*vi(s) = -[(1+R2sC1)/R1sC1)]*[ w^2/(s^2 + w^2)]
è corretto? Come vado avanti? Questo è l'ultima domanda che vorrei chiarire, il resto ho finalmente capito bene, grazie e cordiali saluti
Per quest'ultimo ho un dubbio su una domanda d'esame.
Dopo che ho ricavato la risposta in frequenza H(s) e i diagrammi di bode, mi chiede di trovare l'espressione analitica vo(t) data un'entrata di tensione vi(t)
Ad esempio, se ho la risposta in frequenza H(s)=-[(1+R2sC1)/R1sC1)], mi è stata data vi(t)=k*sin(wt), con k=100mV e w= 10^5 rad/sec:
converto il seno in Laplace, ovvero sin(s) = w^2/(s^2 + w^2)
Trovo vo(t) = H(s)*vi(s) = -[(1+R2sC1)/R1sC1)]*[ w^2/(s^2 + w^2)]
è corretto? Come vado avanti? Questo è l'ultima domanda che vorrei chiarire, il resto ho finalmente capito bene, grazie e cordiali saluti
Risposte
Si, è corretto.
A questo punto con l'uso della trasformata si può trovare facilmente la risposta nel tempo comprensiva di transitorio.
Basta scomporre Vo(s) in fratti semplici e quindi usare le tabelle di anti-trasformazione.
NOTA: Se invece fosse richiesta solo l'espressione analitica a regime, e se il sistema fosse asintoticamente stabile, allora basterebbe utilizzare H(jw) per trovare la risposta in termini complessi (fasori) e da questa tornare facilmente nel tempo.
Nel caso in oggetto però il sistema contiene un termine integrale per cui la risposta a regime oltre al termine sinusoidale conterrà in generale un termine costante (anti-trasformata del termine 1/s).
A questo punto con l'uso della trasformata si può trovare facilmente la risposta nel tempo comprensiva di transitorio.
Basta scomporre Vo(s) in fratti semplici e quindi usare le tabelle di anti-trasformazione.
NOTA: Se invece fosse richiesta solo l'espressione analitica a regime, e se il sistema fosse asintoticamente stabile, allora basterebbe utilizzare H(jw) per trovare la risposta in termini complessi (fasori) e da questa tornare facilmente nel tempo.
Nel caso in oggetto però il sistema contiene un termine integrale per cui la risposta a regime oltre al termine sinusoidale conterrà in generale un termine costante (anti-trasformata del termine 1/s).
ingres ha scritto:
Si, è corretto.
A questo punto con l'uso della trasformata si può trovare facilmente la risposta nel tempo comprensiva di transitorio.
Basta scomporre Vo(s) in fratti semplici e quindi usare le tabelle di anti-trasformazione.
NOTA: Se invece fosse richiesta solo l'espressione analitica a regime, e se il sistema fosse asintoticamente stabile, allora basterebbe utilizzare H(jw) per trovare la risposta in termini complessi (fasori) e da questa tornare facilmente nel tempo.
Nel caso in oggetto però il sistema contiene un termine integrale per cui la risposta a regime oltre al termine sinusoidale conterrà in generale un termine costante (anti-trasformata del termine 1/s).
Grazie, ho l'esame tra qualche settimana e voglio dare il massimo, tra qualche giorno posto dei temi d'esame risolti :)
ingres ha scritto:
Si, è corretto.
A questo punto con l'uso della trasformata si può trovare facilmente la risposta nel tempo comprensiva di transitorio.
Basta scomporre Vo(s) in fratti semplici e quindi usare le tabelle di anti-trasformazione.
NOTA: Se invece fosse richiesta solo l'espressione analitica a regime, e se il sistema fosse asintoticamente stabile, allora basterebbe utilizzare H(jw) per trovare la risposta in termini complessi (fasori) e da questa tornare facilmente nel tempo.
Nel caso in oggetto però il sistema contiene un termine integrale per cui la risposta a regime oltre al termine sinusoidale conterrà in generale un termine costante (anti-trasformata del termine 1/s).
Ciao volevo chiederti, invece, nel caso mi dessero un ciruito integratore, per esempio, e avendo la risposta in frequenza F(jw)=Vo(jw)/Vi(jw), mi chiedano di trovare l'espressione analitica di Vo(t) dato Vi(t) = k*sin(wt), con k=0,1V e w=10^4 rad/s. Come faccio?
Avendo la risposta in frequenza:
[Vo/Vi]= [(R1*R2)/R]*[1/[(1+R1sC1)(1+R2sC2)]], con R1=20kΩ, R2=20kΩ, C1=100nF, C2=1nF.
Avendo tracciato i diagrammi di bode, semplicemente trovo i valori dei grafici di modulo e fase che coincidono con w=10^4 rad/s? Da poi collocare su Vi(t)?
Mi sembra il modo più efficiente perchè calcolare direttamente dalle Laplace richiederebbe troppo tempo.
L'espressione analitica diventerebbe Vo(t) = |F|*k*sin(wt + θ), con |F| il modulo e θ la fase che coincidono con W=10^4 rad/s. è corretto?
E' corretto ma con un paio di precisazioni.
1) L'espressione analitica così determinata è quella a regime (sinusoidale). Nel caso che sia richiesta la risposta completa (ad es. a stato zero) della funzione di trasferimento con ingresso sinusoidale, è necessario tener conto degli esponenziali decrescenti associati alle costanti di tempo R1C1 e R2C2.
2) La risposta a regime è sinusoidale per una forzante sinusoidale solo perchè il sistema trattato è asintoticamente stabile ovvero si tratta di 2 costanti di tempo a parte reale negativa, per cui la risposta transitoria è data da esponenziali decrescenti che a regime si annullano. Se la funzione avesse avuto un effettivo termine integrale (tipo 1/s), in generale avrebbe avuto anche un termine costante che ovviamente non esce fuori dal diagramma della Risposta in Frequenza. Se poi il sistema fosse stato non stabile (es. poli multipli sull'asse immaginario oppure poli anche semplici ma a parte reale positiva) non sarebbe stato possibile alcun regime (la risposta tenderebbe a divergere).
1) L'espressione analitica così determinata è quella a regime (sinusoidale). Nel caso che sia richiesta la risposta completa (ad es. a stato zero) della funzione di trasferimento con ingresso sinusoidale, è necessario tener conto degli esponenziali decrescenti associati alle costanti di tempo R1C1 e R2C2.
2) La risposta a regime è sinusoidale per una forzante sinusoidale solo perchè il sistema trattato è asintoticamente stabile ovvero si tratta di 2 costanti di tempo a parte reale negativa, per cui la risposta transitoria è data da esponenziali decrescenti che a regime si annullano. Se la funzione avesse avuto un effettivo termine integrale (tipo 1/s), in generale avrebbe avuto anche un termine costante che ovviamente non esce fuori dal diagramma della Risposta in Frequenza. Se poi il sistema fosse stato non stabile (es. poli multipli sull'asse immaginario oppure poli anche semplici ma a parte reale positiva) non sarebbe stato possibile alcun regime (la risposta tenderebbe a divergere).
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