Aiuto antitrasformata di LaPlace con segnale traslato
Ciao ragazzi, potreste aiutarmi a capire una cosa:
quando devo antitrasformare un segnale traslato, io so che bisogna applicare la traslazione a tutte le funzioni, quindi per esempio in questo caso:
$l^-1 [ e^t * u[t-1] ] $
la devo scrivere come:
$l^-1 [ e^(t-1+1) * u[t-1] ] $
da cui posso portare fuori $e$ perchè è una costante, e mi ritroverei:
$e* l^-1 [ e^(t-1) * u[t-1] ] $
A questo punto però cosa faccio? Potreste continuare l'esercizio per favore? Grazie mille.
quando devo antitrasformare un segnale traslato, io so che bisogna applicare la traslazione a tutte le funzioni, quindi per esempio in questo caso:
$l^-1 [ e^t * u[t-1] ] $
la devo scrivere come:
$l^-1 [ e^(t-1+1) * u[t-1] ] $
da cui posso portare fuori $e$ perchè è una costante, e mi ritroverei:
$e* l^-1 [ e^(t-1) * u[t-1] ] $
A questo punto però cosa faccio? Potreste continuare l'esercizio per favore? Grazie mille.
Risposte
Puoi utilizzare la giusta combinazione di queste due formule:
[tex]L\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)[/tex]
dove [tex]F(s)=L\{f(t)\}[/tex]
[tex]L\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)[/tex]
dove [tex]F(s)=L\{f(t)\}[/tex]
"K.Lomax":
Puoi utilizzare la giusta combinazione di queste due formule:
[tex]L\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)[/tex]
dove [tex]F(s)=L\{f(t)\}[/tex]
scusami ma forse non ho capito bene
mi ritroverei una cosa del genere??$e^-s * 1/s * e^(-s)$ ??
Dal momento che:
[tex]L\{f(t-1)u(t-1)\}(s)=e^{-s}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{t}f(t)\}(s)=F(s-1)[/tex]
Allora
[tex]L\{e^{t+1} f(t+1)u(t+1)\}(s)=e^{s}L\{e^{t}f(t)\}(s)=e^{s}L\{f(t)\}(s-1)=e^{s}F(s-1)}[/tex]
dove [tex]L\{f(t)\}(s)=F(s)[/tex], ovvero [tex]L^{-1}\{F(s)\}(t)=f(t)[/tex]. Dunque si ha:
[tex]L^{-1}\{e^{s}F(s-1)\}=e^{t+1}f(t+1)u(t+1)[/tex]
[tex]L\{f(t-1)u(t-1)\}(s)=e^{-s}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{t}f(t)\}(s)=F(s-1)[/tex]
Allora
[tex]L\{e^{t+1} f(t+1)u(t+1)\}(s)=e^{s}L\{e^{t}f(t)\}(s)=e^{s}L\{f(t)\}(s-1)=e^{s}F(s-1)}[/tex]
dove [tex]L\{f(t)\}(s)=F(s)[/tex], ovvero [tex]L^{-1}\{F(s)\}(t)=f(t)[/tex]. Dunque si ha:
[tex]L^{-1}\{e^{s}F(s-1)\}=e^{t+1}f(t+1)u(t+1)[/tex]
"K.Lomax":
Dal momento che:
[tex]L\{f(t-1)u(t-1)\}(s)=e^{-s}F(s)[/tex]
[tex]L\{e^{t}f(t)\}(s)=F(s-1)[/tex]
scusa ma tu qui applichi 2 volte la stessa cosa
una volta in un senso, e poi nell'altro
[tex]L\{e^{t+1} f(t+1)u(t+1)\}(s)[/tex]
qui non capisco come esca questa cosa rispetto alla mia traccia: $L^-1 {e^t * u[t-1] }$
Non hai fatto attenzione al fatto che nel dominio di Laplace la variabile che sto utilizzando è [tex]s[/tex] e non [tex]t[/tex], ma poco cambia dal punto di vista matematico se quella che devi fare è una antitrasformata e non una trasformata (a questo aggiungo che in ingegneria la variabile t indica il tempo, mentre s la variabile quella di Laplace; dunque, dando questo significato alle variabili da te riportate, l'antitrasformata non avrebbe senso ingegneristicamente parlando).
Le regole che ho applicato non sono la stessa cosa, ma sono rispettivamente le proprietà di traslazione e modulazione. Per info più dettagliate puoi guardare qui, precisamente a pag 120 per la trasformata, e a pag 121 per l'antitrasformata (da una buona applicazione di queste ultime puoi risalire all'antitrasformata in maniera molto veloce, evitando di ragionare partendo dalla trasformata come ho fatto io).
Le regole che ho applicato non sono la stessa cosa, ma sono rispettivamente le proprietà di traslazione e modulazione. Per info più dettagliate puoi guardare qui, precisamente a pag 120 per la trasformata, e a pag 121 per l'antitrasformata (da una buona applicazione di queste ultime puoi risalire all'antitrasformata in maniera molto veloce, evitando di ragionare partendo dalla trasformata come ho fatto io).
ok credo di aver capito, ecco come procedo, ditemi se sbaglio:
la mia situazione iniziale da trasformare è:
$ L {e^t * u[t-1]}$
devo ovviamente ritardare anche e^t, per cui:
$L{e^(t-1+1) * u[t-1]}$
da cui posso portare fuori i termini costanti
$e* L{e^(t-1) * u[t-1]}$
a questo punto applico la proprietà del ritardo (traslazione nel tempo)
$e* e^-s * L{e^t * u[t]}$
posso applicare una trasformata nota e trovarmi il risultato finale:
$f(s) = (e* e^-s)/(s-1) $
la mia situazione iniziale da trasformare è:
$ L {e^t * u[t-1]}$
devo ovviamente ritardare anche e^t, per cui:
$L{e^(t-1+1) * u[t-1]}$
da cui posso portare fuori i termini costanti
$e* L{e^(t-1) * u[t-1]}$
a questo punto applico la proprietà del ritardo (traslazione nel tempo)
$e* e^-s * L{e^t * u[t]}$
posso applicare una trasformata nota e trovarmi il risultato finale:
$f(s) = (e* e^-s)/(s-1) $
Ecco, come mi aspettavo, dovevi fare una trasformata......era una domanda che volevo porti fin dall'inizio, ma non pensavo stessi sbagliando proprio quello:-) Comunque il risultato è corretto.
si hai ragione, sbagliavo proprio alla base (dimostrando che non avevo capito 
) grazie per l'aiuto
) grazie per l'aiuto
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