[Teoria] Rappresentazione in base dei numeri reali
Salve a tutti! Ho un piccolo dubbio inerente alla condizione di normalizzazione definita nella seguente "pagina" di appunti che vi riporto.
In particolare non mi è chiaro l'esempio che viene portato nel punto a) sotto l'osservazione 3). Parla di unicità che viene meno per $d_0=0$ ma $x=10^0*1.23$ e $x=10^-1*12.3$ rappresentano lo stesso numero e hanno $d_0!=0$. Cosa mi sfugge?
Vi ringrazio in anticipo!
Sia $β∈N,β≥2$. Ogni numero reale $x∈R,x≠0$ può essere rappresentato in maniera univoca come segue:
$x=±β^p*∑_(i=0)^∞d_i β^(-i) $
Ovvero, in notazione posizionale
$x=±β^p*d_0.d_1 d_2…$
Dove:
- $±$ indica il segno
- $β$ è la base della rappresentazione
- $p∈Z$ è l’esponente
$d_i,i=0,1,2…$ sono le cifre della rappresentazione, che dovranno soddisfare le seguenti condizioni:
-$0≤d_i≤β-1 ,i=0,1…$
-$d_0≠0$ (condizione di normalizzazione)
-$d_i$ non definitavamente uguali a $β-1$
Osservazioni
$1)$ Abbiamo escluso lo zero poiché non è possibile rappresentarlo in forma normalizzata $(d_0≠0)$
$2)$ La condizione "$d_i$ non definitavamente uguali a $β-1$" è necessaria per l’unicità della rappresentazione
Controesempio
Lavorando in base $β=10$, consideriamo il numero $x=0.bar(9)=10^(-1)*9*∑_(i=0)^∞(1/10)^i =10^(-1)*9*1/(1-1/10)=10^(-1)*9*1/(9/10)=1$
Ulteriore controesempio
$x=1.234bar(9)=1.235$
$3)$ La condizione di normalizzazione ha un duplice significato:
$a)$ Condizione necessaria per l’unicità $x=10^0*1.23=10^1*0.123=10^2*0.0123=10^(-1)*12.3$
$b)$ Utile quando si dispone di memoria finita per la rappresentazione dei numeri.
In particolare non mi è chiaro l'esempio che viene portato nel punto a) sotto l'osservazione 3). Parla di unicità che viene meno per $d_0=0$ ma $x=10^0*1.23$ e $x=10^-1*12.3$ rappresentano lo stesso numero e hanno $d_0!=0$. Cosa mi sfugge?
Vi ringrazio in anticipo!
Sia $β∈N,β≥2$. Ogni numero reale $x∈R,x≠0$ può essere rappresentato in maniera univoca come segue:
$x=±β^p*∑_(i=0)^∞d_i β^(-i) $
Ovvero, in notazione posizionale
$x=±β^p*d_0.d_1 d_2…$
Dove:
- $±$ indica il segno
- $β$ è la base della rappresentazione
- $p∈Z$ è l’esponente
$d_i,i=0,1,2…$ sono le cifre della rappresentazione, che dovranno soddisfare le seguenti condizioni:
-$0≤d_i≤β-1 ,i=0,1…$
-$d_0≠0$ (condizione di normalizzazione)
-$d_i$ non definitavamente uguali a $β-1$
Osservazioni
$1)$ Abbiamo escluso lo zero poiché non è possibile rappresentarlo in forma normalizzata $(d_0≠0)$
$2)$ La condizione "$d_i$ non definitavamente uguali a $β-1$" è necessaria per l’unicità della rappresentazione
Controesempio
Lavorando in base $β=10$, consideriamo il numero $x=0.bar(9)=10^(-1)*9*∑_(i=0)^∞(1/10)^i =10^(-1)*9*1/(1-1/10)=10^(-1)*9*1/(9/10)=1$
Ulteriore controesempio
$x=1.234bar(9)=1.235$
$3)$ La condizione di normalizzazione ha un duplice significato:
$a)$ Condizione necessaria per l’unicità $x=10^0*1.23=10^1*0.123=10^2*0.0123=10^(-1)*12.3$
$b)$ Utile quando si dispone di memoria finita per la rappresentazione dei numeri.
Risposte
"paolo1712":
Salve a tutti! Ho un piccolo dubbio inerente alla condizione di normalizzazione definita nella seguente "pagina" di appunti che vi riporto.
In particolare non mi è chiaro l'esempio che viene portato nel punto a) sotto l'osservazione 3). Parla di unicità che viene meno per $d_0=0$ ma $x=10^0*1.23$ e $x=10^-1*12.3$ rappresentano lo stesso numero e hanno $d_0!=0$. Cosa mi sfugge?
Quello che sfugge a te e anche a chi ha scritto l'esempio e' che NON e' possibile ottenere questa rappresentazione:
$x=10^-1*12.3$
con questa espressione
$ x=±β^p*∑_(i=0)^∞d_i β^(-i) $
perche' la cifra $1$ di $12.3$ richiede che la sommatoria parta da $i=-1$ invece che $i=0$, in modo che $d_{-1} = 1, d_0 = 2, d_{1} = 3, d_{2} = 0, d_{3} = 0, ...$.
La sommatoria parte da $0$ e va a infinito, ma poi l'esponente ha il segno meno, quindi la sommatoria va intesa come da $0$ a infinito negativo.
Spero che sia chiaro.
Si ora mi è chiaro. Ti ringrazio!
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