[Teoria, Algoritmi] Metodo di Jacobi: criteri di convergenza

[lucia88]

Ciao a tutti
stavo studiando i criteri di convergenza del metodo di jacobi e non capisco alcune disuguaglianze che il libro dice essere banali.....

allora il metodo di jacobi è $x^(0)$ dato con $x^(k+1)=Bx^(k)+P^(-1)b$

dove B=matrice d'iterazione=$P^(-1)N$
dove $P_i=b_i/a_(i,i)$
e $B_(i,j)$ è:
se $i=j$ :$B_(i,j)=0$
altrimenti: $B_(i,j)=-a_(i,j)/b_(i,i)$

L'errore assoluto al (k+1)-esimo passo è $e^(k+1)=x-x^(k+1)=Be^k$
quindi dato $e^0=x-x^0$, si ha $e^1=Be^0$ e così via fino a $e^(k+1)=B^(k+1)e^0$

quindi il metodo converge se, per qualunque errore iniziale, si ha $lim_(k->+oo) B^k =0$ cioè (con un po' di dimostrazioni sui raggi spettrali e i legami con le norme...) $||B||<1$

Ciò è vero se B è a diagonale dominante perchè $||B||_(oo)=l=max_i ∑_(j)|a_(i,j)/a_(i,i)|>1$ ovviamente j diverso da i

poi ponendo $ε=max_i|e_i ^(k)|$ cioè massimo errore alla K-esima iterazione, cioè la massima componente del vettore e^(k)

il libro dice che è è banale la dimostrazione della disuguaglianza: $ε_(k+1)<ε_k l$ e $ε_k Io non riesco invece a capire come dimostrare queste 2 disuguaglianze, qualcuno sa come devo fare?
Grazie (e buon natale xD)

[Quinzio]

Hai sempre che $l_i<1$ (nel tuo testo è scritto in modo errato), quindi mi sembra ovvio che $\epsilon_(k+1)<\epsilon_(k)l$.

[lucia88]

no, in realtà sono io che l'ho scritto male.... cmq si, riflettendo sul legame tra l e la matrice d'iterazione sono effettivamente banali quelle disuguaglianze.