Stima asintotica

[faby99s]

Sia:
$ f(n)=sum^(i=1)i^k $
Con k= costante intera positiva. Si dimostra la falsità e la verità della seguente affermazione
f(n) = $ Theta (n^(k+1)) $

Io l’ho risolta in tal modo:
$ int_(1)^(n) x^a dx =((n^(a+1)-1)/(a+1)) $
Da ciò:
$ int_(1)^(n) x^a dx =(n^(a+1)+o (n^(k+1))) $
Ma:
$ o (n^(k+1))) appartiene a Omega (n^(k+1)) $
Quindi:
$ int_(n-1)^(1) x^a dx Allora:
f(n)= $ Theta ((n^(k+1))) $

Va bene?potete aiutarmi?
Grazie in anticipo ☺️

[Adrianorto]

Nell'ultima disuguaglianza la stima dall'alto mi pare corretta , l'ultima pero' anche se fosse corretta come mi pare ,ricorda l'integrale di Rienmann , darebbe un'ordine piu' basso di un grado. Proverei a stabilire un'equazione di ricorrenza come quelle del noto teorema principale
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_principale ed a risolverla per ottenere la stima dal basso avendo col tuo metodo gia' quall dall'alto.

[Adrianorto]

* la penultima pero' anche

[Adrianorto]

Ci sono riuscito col metodo di sostituzione, il metodo iterativo e' ridondante e rioporta al problema di partenza.
Si dimostra con un'analogia fra una differnza finita e la derivata infatti (dx^(a+1)/dx vale come saprai (a+1)(dx^a/dx) e cosi' non c'e' bisogno di scrivere lo sviluppo del binomio di Newton di (n-1)^(a+1) e sostituendo il monomio piu' semplice moltiplicato per una costante arbitraria. Sostiutendo un polinomio un po' piu' articolato forse si possono ottenre dimostrazioni addirituura algebriche

[Adrianorto]

Mi correggo Sara cara, al monomio molto semplice che tu troverai sicuramente e' necessario aggiugere una costante per sostituirlo a causa delle condizioni iniziali dell'equazione anch'essa facile . Tali condizioni devono essere soddisfatte da una costante arbitraria nel metodo mentre il mon0mio piu' la costante vanno prima a maggiorare e minorare l'ipotetica soluzione che puo' solo essere pensata come una funzione regolare