Matematica e Fisica dei videogiochi

[Dome 94]

Ciao,
sono un programmatore e dovrei apprendere al meglio la matematica e la fisica utilizzata dai videogame .
Già conosco bene il C++ e altri linguaggi e vorrei sapere come imparare queste due cose .

Due sono le vie, impararla in inglese o in italiano .

Considerando l'inglese ho trovato questo : " Mathematics of 3D Game Programming and Computer Graphics " .
Purtroppo sembra più un manuale da come dicono gli inglesi, quindi per iniziare non va bene, oltretutto le critiche degli inglesi sono volte più alla fisica che alla matematica che è spiegata in maniera troppo spicciola, come la fisica dei fluidi etc .
Oppure c'è questo : " 3D Math Primer for Graphics and Game Development, 2nd Edition ", sembra essere molto introduttivo e anche molto teorico e pratico allo stesso tempo per la matematica ma mancherebbe comunque la parte sulla fisica ...

Considerando l'italiano : Potrei studiare queste cose su libri di fisica e matematica e poi l'aspetto pratico dei videogame come lo vedo ?


Se partissi con i libri in italiano, potrei tranquillamente fare tutto perchè ho delle basi grazie a libri universitari su analisi e geometria, ma non di fisica che ne so poco e niente, comunque sia sarebbe fattibile, però credo sia tutto estremamente teorico, i corsi universitari per la fisica sono così .
Quindi facendo così, per fare pratica poi, andrebbe bene il libro in inglese che ho citato visto che è un manuale ? ( per quanto ne so )

Altrimenti partendo direttamente con l'inglese non credo sia una buona idea, perchè quei libri che parlano di Matematica e Fisica dei videogiochi sembrano essere dei manuali, dove si riprende il concetto teorico e poi lo si applica a qualche problema dei videogiochi, ma non mi sembra che è fatto per imparare il concetto matematico o fisico vero e proprio

Se ne conoscete altri di libri o se avete altro in mente ditelo pure .
Ogni idea è ben accetta

[apatriarca]

Non mi è del tutto chiaro che cosa tu stia cercando. Mi sembra che tu stia criticando i libri più pratici e legati ai videogiochi perché non sono abbastanza teorici e dettagliati e i libri teorici perché sono troppo teorici. L'idea dei libri in inglese che hai postato è quella di insegnare i principali strumenti matematici e fisici utili per la programmazione dei videogiochi. Inserire ulteriore matematica o fisica è certamente possibile, ma a mio parere un po' controproducente. La matematica usata nei videogiochi è infatti vastissima e si potrebbero scrivere diversi volumi sull'argomento. Ma quelli usati nella maggior parte delle situazioni non è così vasta. Un po' di algebra lineare e analisi matematica e numerica e qualche nozione di fisica Newtoniana sono più che sufficienti per la maggior parte dei giochi. Io credo sia quindi meglio concentrarsi su queste basi e lasciare al lettore il compito di approfondire altri argomenti su libri più specifici.

Adesso non ho tempo per guardare bene i due libri e non avendoli letti non posso commentare. Quali sono esattamente le tue basi di matematica e fisica?

[Dome 94]

Grazie per la risposta .
Allora ho fatto la domanda perchè non so realmente di quali conoscenze avrei bisogno .
Comunque di matematica ho studiato Analisi I e poco di Analisi II, poi Geometria euclidea ma ricordo ben poco, questo da solo e mi sono trovato bene, di fisica diciamo quasi nulla .

Se in quei libri c'è il necessario inizio da quelli, altrimenti posso sempre studiarmi quei libri in inglese e poi approfondire in italiano nel tempo libero, rimane sempre una mia passione studiare .
Però per la fisica credo dovrò optare in italiano perchè di libri in inglese non ne conosco per niente .

Per quanto riguarda la critica XD, io cerco qualcosa di pratico ( applicato ai videogame ) perchè le basi ce le ho, in realtà ho molto più che delle basi, però in seguito vorrei anche approfondire per conto mio ecco .

[apatriarca]

Che cosa sai di algebra lineare? È in assoluto la teoria matematica più importante nei videogiochi. Se non sai lavorare con vettori e matrici nello spazio puoi fare molto poco. L'analisi è principalmente utile per comprendere la fisica e qualche algoritmo più avanzato.

[Dome 94]

Quindi mi serve principalmente Geometria ( o Algebra lineare, credo intendiamo la stessa cosa ) .
Ricordo che sapevo dimostrare diversi teoremi, quindi sono capace di affrontare queste cose, mi chiedevo cosa fosse necessario .
Di Geometria arrivai fino alle coordinate polari nello spazio, classificazione delle coniche e qualcos'altro .
Non che non ho mai fatto quelle cose ma vorrei ripassarle e colmare eventuali lacune o fare quello che non ho fatto, insomma avrei bisogno di un libro che mi reintroduca a queste cose, che non sia orientato alla pura teoria però XD, altrimenti prendo un libro d'ingegneria che ho già .
Diciamo che inizialmente non vorrei fossilizzarmi sulle dimostrazioni ecco, quella sarà una mia curiosità che soddisferò in seguito

[apatriarca]

Qualsiasi oggetto facente parte della tua scena avrà probabilmente una posizione e forse velocità, accelerazione.. Queste grandezze sono descritte usando vettori o punti (quasi sempre in coordinate cartesiane). Dovrai inoltre essere in grado di muoverli nella tua scena e devi quindi definire trasformazioni nello spazio come traslazioni, rotazioni, scalamenti.. Avrai probabilmente bisogno di saper calcolare la collisioni tra oggetti e in particolare cose semplici come l'intersezione tra una retta e semplici figure come piani. Queste sono le cose principali.. Ma credo che il miglior modo di imparare queste cose sia effettivamente quella di provare a fare giochi sempre più complicati e imparare questa matematica strada facendo..

[Dome 94]

Un quadro perfetto, comunque si strada facendo intendevo anche perchè prima o poi devo vedere tutte queste cose .

Comunque, il mio dubbio è se studiare su quei libri in inglese o su un qualsiasi libro in italiano, per quanto riguarda Geometria .
Lo chiedo perchè dopo se vado a vedere le applicazioni sui videogame della matematica e della fisica la terminologia potrei non capirla o comunque ci metterei parecchio tempo per apprenderla, anche conoscendo il tutto in italiano, le guide su queste cose sono in inglese .
Quindi mi chiedevo se abituarsi a studiare matematica ( o fisica, indifferente in questo caso ) possa aiutarmi fin da subito con la terminologia-simboli in inglese .
Credo che qualcosa cambi e non sarà come comprendere un normale testo in inglese .


Ricapitolando : se studio Geometria in inglese ( e mettiamoci anche fisica volendo ) , bastano quei libri o anche uno solo di quei due ? Cioè non so fino a che punto arrivano o che grado di approfondimento trattano .

Provo a postare il programma di " 3D Primer ... " :

Introduction xv
1 Cartesian Coordinate Systems 1
1.1 1D Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 2D Cartesian Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 3D Cartesian Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Odds and Ends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Vectors 31
2.1 Mathematical Definition of Vector, and Other Boring Stuff 32
2.2 Geometric Definition of Vector . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Specifying Vectors with Cartesian Coordinates . . . . . 36
2.4 Vectors versus Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Negating a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Vector Multiplication by a Scalar . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Vector Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . . 47
2.8 Vector Magnitude (Length) . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9 Unit Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.10 The Distance Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.11 Vector Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.12 Vector Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Linear Algebra Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Multiple Coordinate Spaces 79
3.1 Why Bother with Multiple Coordinate Spaces? . . . . . 80
3.2 Some Useful Coordinate Spaces . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 Basis Vectors and Coordinate Space Transformations . . 86
3.4 Nested Coordinate Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
vii
viii Contents
3.5 In Defense of Upright Space . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Introduction to Matrices 113
4.1 Mathematical Definition of Matrix . . . . . . . . . . . . 113
4.2 Geometric Interpretation of Matrix . . . . . . . . . . . . 124
4.3 The Bigger Picture of Linear Algebra . . . . . . . . . . . 130
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 Matrices and Linear Transformations 137
5.1 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 Scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.3 Orthographic Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4 Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5 Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6 Combining Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Classes of Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 More on Matrices 161
6.1 Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4 4 × 4 Homogeneous Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.5 4 × 4 Matrices and Perspective Projection . . . . . . . . 183
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7 Polar Coordinate Systems 191
7.1 2D Polar Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2 Why Would Anybody Use Polar Coordinates? . . . . . . 201
7.3 3D Polar Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.4 Using Polar Coordinates to Specify Vectors . . . . . . . 213
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8 Rotation in Three Dimensions 217
8.1 What Exactly is “Orientation”? . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2 Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.3 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.4 Axis-Angle and Exponential Map Representations . . . . 244
8.5 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.6 Comparison of Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.7 Converting between Representations . . . . . . . . . . . 275
8.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Contents ix
9 Geometric Primitives 295
9.1 Representation Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.2 Lines and Rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.3 Spheres and Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.4 Bounding Boxes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.5 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.6 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.7 Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10 Mathematical Topics from 3D Graphics 343
10.1 How Graphics Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.2 Viewing in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3 Coordinate Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.4 Polygon Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.5 Texture Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.6 The Standard Local Lighting Model . . . . . . . . . . . 396
10.7 Light Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
10.8 Skeletal Animation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
10.9 Bump Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
10.10 The Real-Time Graphics Pipeline . . . . . . . . . . . . . 438
10.11 Some HLSL Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
10.12 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
10.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
11 Mechanics 1: Linear Kinematics and Calculus 479
11.1 Overview and Other Expectation-Reducing Remarks . . 479
11.2 Basic Quantities and Units . . . . . . . . . . . . . . . . 483
11.3 Average Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
11.4 Instantaneous Velocity and the Derivative . . . . . . . . 490
11.5 Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
11.6 Motion under Constant Acceleration . . . . . . . . . . . 516
11.7 The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
11.8 Uniform Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
11.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
12 Mechanics 2: Linear and Rotational Dynamics 553
12.1 Newton’s Three Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
12.2 Some Simple Force Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
12.3 Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
12.4 Impulsive Forces and Collisions . . . . . . . . . . . . . . 590
12.5 Rotational Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
12.6 Real-Time Rigid Body Simulators . . . . . . . . . . . . . 621
x Contents
12.7 Suggested Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
12.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
13 Curves in 3D 645
13.1 Parametric Polynomial Curves . . . . . . . . . . . . . . 646
13.2 Polynomial Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
13.3 Hermite Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
13.4 B´ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
13.5 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
13.6 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
13.7 Hermite and B´ezier Splines . . . . . . . . . . . . . . . . 694
13.8 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
13.9 Automatic Tangent Control . . . . . . . . . . . . . . . . 702
13.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
14 Afterword 715
14.1 What Next? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
14.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
A Geometric Tests 717
A.1 Closest Point on 2D Implicit Line . . . . . . . . . . . . . 717
A.2 Closest Point on a Parametric Ray . . . . . . . . . . . . 718
A.3 Closest Point on a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
A.4 Closest Point on a Circle or Sphere . . . . . . . . . . . . 719
A.5 Closest Point in an AABB . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
A.6 Intersection Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
A.7 Intersection of Two Implicit Lines in 2D . . . . . . . . . 721
A.8 Intersection of Two Rays in 3D . . . . . . . . . . . . . . 722
A.9 Intersection of a Ray and Plane . . . . . . . . . . . . . . 724
A.10 Intersection of an AABB and Plane . . . . . . . . . . . . 725
A.11 Intersection of Three Planes . . . . . . . . . . . . . . . . 726
A.12 Intersection of Ray and a Circle or Sphere . . . . . . . . 727
A.13 Intersection of Two Circles or Spheres . . . . . . . . . . 729
A.14 Intersection of a Sphere and AABB . . . . . . . . . . . . 731
A.15 Intersection of a Sphere and a Plane . . . . . . . . . . . 732
A.16 Intersection of a Ray and a Triangle . . . . . . . . . . . 734
A.17 Intersection of Two AABBs . . . . . . . . . . . . . . . . 737
A.18 Intersection of a Ray and an AABB . . . . . . . . . . . 740

Dal capitolo 7 al 14 le cose cominciano a farsi interessanti e parla anche di accelerazione e quant'altro della fisica proprio come hai detto tu, anche di quaternioni .
Poi se non erro ci sono esempi di implementazione in qualche linguaggio nella parte successiva, però qui la cosa si complica avendo visto alcuni pezzi online .

[apatriarca]

Direi che come base matematica potrebbe andare bene. C'è anche qualcosa (molto poco) di fisica.

[Dome 94]

Si ho notato, infatti per fisica opterei per qualcosa in italiano visto che purtroppo non ho delle conoscenze neanche in italiano , risulterebbe tutto abbastanza difficile .

Questo sembra essere usato in molti atenei : Elementi di fisica. Meccanica, termodinamica ( 2007 ), sarebbe Fisica 1, poi ci sarebbe anche il volume di Fisica 2