Controlli automatici: come procedo??

[eMiliu]

Raga,
mi sono messo a studiare controlli automatici....
allora io ho un sistema rappresentato da questa equazione differenziale:

y''(t)+$3/2$y'(t)+$1/2$y(t)=u''(t)-u(t)

e devo calcolarmi la risposta del sistema all'ingresso di u(t)=$e^(-2t)$
quando le condizioni iniziali sono: y(0)=1 e y'(0)=1

come procedo??

[Marvin1]

Uhm non so se dico una fesseria ma..
prova a risolvere l'eq differenziale di secondo grado omogena e trovi la soluzione.
poi per la parte non omogenea poni:
$ u(t)=e^(-2t)$
e
$u''(t)=-4e^(-2t) $
trovando le soluzioni generale come sol dell'omogena + sol particolare.
Alla fine non ti rimane che risolvere il problema di Cauchy con le condizioni note..

Ma non sono sicuro eh..problemi simili nel mio corso di Automazione non li ho mai trattati quindi..

MCM

[Nidhogg]

Basta sostituire al posto di $u(t)$, $e^(-2t)$, e al posto di $u''(t)$, $4e^(-2t)$. Si ottiene:
$y''(t)+3/2y'(t)+1/2y(t)=4e^(-2t)-e^(-2t) rarr y''(t)+3/2y'(t)+1/2y(t)=3e^(-2t)$

Quindi $y(t)=c_1*e^(-t/2)+c_2*e^(-t)+2e^(-2t)$ e $y'(t)=(-c_1*e^(-t/2))/2-c_2*e^(-t)-4*e^(-2t)$. Imponendo le condizioni $y(0)=1$ e $y'(0)=1$, si ha:

$1=c_1+c_2+2 rarr c_1+c_2=-1$ e $1=-c_1/2-c_2-4 rarr c_1=-2c_2-10$. Mettendo a sistema si ottiene:

${(c_1+c_2=-1),(c_1=-2c_2-10):} rarr {(-2c_2-10+c_2=-1),(c_1=-2c_2-10):} rarr {(c_2=-9),(c_1=-2*(-9)-10):} rarr {(c_2=-9),(c_1=8):}

Quindi la soluzione particolare del problema di Cauchy è: $y(t)=8*e^(-t/2)-9*e^(-t)+2e^(-2t)$

Ciao!

[dirtyhawk]

Perchè nn provi con le trasformate di Laplace? E' uguale ma è un po' più veloce...