[C] Generatore di numeri casuali con probabilità

[bad.alex]

Ciao ragazzi.

Volevo chiedervi se sia possibile generare due valori random, la cui probabilità associata è rispettivamente uguale a 60 % e 30% e 10%.
Vi faccio un esempio: ho la possibilità di generare casualmente due valori, 0 e 1. Le possibili combinazioni sono:

1 1
0 0
1 0 (o equivalentemente 0 1)

Ciò che vorrei fare è ottenere che esca 1 1 (immaginate due monete lanciate il cui risultato sia testa (1) testa (1), oppure croce (0) croce (0), testa (1) croce (0)) nel 60% di volte, 1 0 nel 30% e 0 0 nel restante 10 %.


E' possibile realizzare questo procedimento ( in realtà la difficoltà sta nel capire come associare una probabilità di uscita del 60%, 30 % e 10 % ad ognuno dei lanci) in C? Qualora lo fosse, potreste darmi qualche dritta su come procedere?

Vi ringrazio sin da ora per le vostre risposte.

Alex

[niccoset]

Tempo fa avevo un problema simile e lo risolsi in questo modo:

per prima cosa devi generare un numero casuale $ p in [0,1] $, successivamente controlli il valore di $ p $.
Se $ p in [0,0.6] $ sei nel caso $ 1 , 1 $ , se $ p in [0.6,0.9] $ sei nel caso $ 1,0 $ altrimenti ricadi nell'ultimo caso $ 0,0 $.

Spero di esserti stato di aiuto.

[apatriarca]

Supponiamo di generare un valore uniforme \(\epsilon\) in \([0, 1)\) (o \([0, 100)\) o altro). Se vuoi che qualcosa avvenga con probabilità \(X\) è sufficiente farlo avvenire nel caso in cui \(\epsilon < X\). Supponiamo per comodità di avere una funzione \(drand\) che restituisce un valore double in \([0, 1)\). Il codice per calcolare i tre dadi sarebbe il seguente:

double probs[3] = { 0.6, 0.3, 0.1 };
int dadi[3];
for (int i = 0; i < 3; ++i) {
    double epsilon = drand();
    dadi[i] = epsilon < probs[i];
}

[apatriarca]

Avevo letto male.. Ma in realtà le tue probabilità non hanno senso.

[bad.alex]

Grazie mille ad entrambi, niccoset e apatriarca.
Posso chiederti, apatriarca, perché potrebbero non aver senso?

[apatriarca]

Non hanno senso perché gli stessi simboli appaiono diverse volte nella tua descrizione con probabilità diverse. Non è poi chiaro se l'ordine dei due valori conta o è ininfluente.

[vict85]

Consideriamo due monete. Le possiamo descrivere con due variabili Bernulliane indipendenti, diciamo \(X = \mathcal{B}(p)\) e \(Y=\mathcal{B}(q)\). Ora tu vuoi trovare i valori di p e q tali per cui \(\mathbb{P}(X=Y=1)=0.6\) e \(\mathbb{P}(X=Y=0)=0.1\) (la terza condizione non aggiunge nulla a queste due essendo l'evento complementare all'unione di questi due eventi indipendenti).

Pertanto si ha che \(pq = 0.6\) e \((1-p)(1-q) = 0.1\). Ovvero \begin{align*} (1-p)(1-q) &= 0.1 \\ 1-q-p+pq &= 0.1 \\ 0.9 + pq &= p+q\,, \end{align*} che diventa \(p+q = 1.5\) sostituendo \(pq\) dalla prima equazione nella seconda.

Siccome \(\displaystyle p = \frac{0.6}{q} \), si ricava \(\displaystyle \frac{6}{10 q} + q = \frac{15}{10} \). Raccogliendo a fattore comune ed eliminando il denominatore (\(q\) è senz'altro diverso da \(0\)), si ricava \(\displaystyle 10 q^2 - 15q + 6 = 0 \).

Siccome \(\Delta = b^2 - 4ac = 15^2 - 4\cdot 10 \cdot 6 = 225 - 240 = - 15 < 0\), non esistono \(p\) e \(q\) che soddisfano il sistema.

In altre parole, indipendentemente dal mezzo, non è possibile generare questa probabilità congiunta tramite l'uso di due variabili bernulliane indipendenti.

[apatriarca]

A quanto pare ero completamente fuori di testa ieri e non ero in grado di leggere. La probabilità ha senso anche se ovviamente le due monete non sono indipendenti tra di loro. La soluzione è quella fornita da @niccoset.

In alternativa puoi trattare le due probabilità separatamente, ma il calcolo delle probabilità è più complicato. Le monete non sono infatti indipendenti ed è quindi necessario fare ricorso a probabilità condizionate. La soluzione più semplice è quella di calcolare le due monete insieme come mostrato in precedenza da @niccoset.

[bad.alex]

Grazie mille, ragazzi. Il vostro aiuto e i vostri chiarimenti sono sempre preziosi per me!

p.s. Scusate per il ritardo della risposta