Zero per un vettore

[megaempire]

Salve,
Come si dimostra che 0$*\vec v = \vec 0$?
Sapendo che il vettore appartiene a uno spazio vettoriale?

[garnak.olegovitc1]

Salve magaempire,

"megaempire":Salve,
Come si dimostra che 0$*\vec v = \vec 0$?
Sapendo che il vettore appartiene a uno spazio vettoriale?

sia \( \alpha \) uno scalare ed \( \vec v \) un vettore, se \( \alpha \cdot \vec v + \vec 0 = \alpha \cdot \vec v=(\alpha +0) \cdot \vec v=\alpha \cdot \vec v + 0 \cdot \vec v \) allora \( \vec 0 = 0 \cdot \vec v \)...

Cordiali saluti

P.S.=Ti sconsiglio però di usare il simbolo \( \cdot \) per l'operazione esterna, ovvero di usarne qualche altro particolarmente diverso perchè uno spazio vettoriale è definito su un campo e in questo di solito le due operazioni binarie sono rappresentate coi simboli \( + \) e \( \cdot \) e talvolta si può creare confusione con l'operazione esterna ...

[megaempire]

io ho provato questa dimostrazione sia $\a$ uno scalare e $\vec v $ che appartiene a uno spazio vettoriale :
si ha $a*\vec v = a*\vec v $ ;
$(a+0)*\vec v = a*\vec v $ ; // posso farlo perché $(a+0)= a$
$a*0 + a\vec v = a*\vec v $ ; // applico la proprietà distributiva
$a*0 v = a*\vec v - a\vec $;
$a*0 = \vec 0$. // perché per definizione un vettore sommato al suo opposto mi da il vettore nullo.
Puo andare?
non ho capito il problema del simbolo... io uso $*$ per è una moltiplicazione...o no?

[garnak.olegovitc1]

Salve megaempire,

"megaempire":io ho provato questa dimostrazione sia $\a$ uno scalare e $\vec v $ che appartiene a uno spazio vettoriale :
si ha $a*\vec v = a*\vec v $ ;
$(a+0)*\vec v = a*\vec v $ ; // posso farlo perché $(a+0)= a$
$a*0 + a\vec v = a*\vec v $ ; // applico la proprietà distributiva
$a*0 v = a*\vec v - a\vec $;
$a*0 = \vec 0$. // perché per definizione un vettore sommato al suo opposto mi da il vettore nullo.
Puo andare?
non ho capito il problema del simbolo... io uso $*$ per è una moltiplicazione...o no?

leggendo la prima riga, ovvero "si ha $a*\vec v = a*\vec v $" ti posso già dire che l'operazione esterna non è commutativa...

Cordiali saluti

P.S.=Non volevo scriverla ma cmq lo faccio, siano \( \alpha \) uno scalare ed \( k \) un vettore, siccome l'insieme \( E \) è stabile per \( \cdot \) allora \( \alpha \cdot k \in E \) ma \( E \) un gruppo commutativo e quindi \( + \) ammette vettore nullo allora \( \alpha \cdot k +\vec 0 = \alpha \cdot k \) ma lo spazio vettoriale è definito su un corpo commutativo e quindi si ha anche \( \alpha \cdot k +\vec 0 =\alpha \cdot k = (\alpha+0) \cdot k \) ma per uno degli assiomi dello spazio vettoriale \( \alpha \cdot k +\vec 0 =\alpha \cdot k = (\alpha+0) \cdot k =\alpha \cdot k + 0 \cdot k \) ma per ipotesi \( E \) è sempre un gruppo è quindi vale la regola di semplificazione allora \( \vec 0 =0 \cdot k \)
Spero sia chiaro!