Zeri del polinomio caratteristico

[davide51]

Salve,
avrei dei problemi nel risolvere questo teorema:

Gli autovalori di una matrice sono tutti e soli gli zeri del polinomio caratteristico

Innanzitutto gli zeri del polinomio sarebbero le soluzioni???( che ovviamente si ottiene calcolando il determinate)???

Ma come si dimostra il teorema???

[domenico-fiamma-8]

Teorema di caratterizzazione degli autovalori :
"Uno scalare $lambda$ è un autovalore di $f <=> det(A-lambdaI_n)=0$"

Dimostrazione :

Ricordiamo che lo scalare $lambda$ è un autovalore $<=>$ esiste un vettore non nullo $v$ tale che $f(v)=lambdav$. Sia dunque $v$ un vettore non nullo e sia $V=(v_1,...,v_n)$ il suo vettore coordinato rispetto ad una base fissata $B$. Se $f(v)=v'$ e $V'=(v'_1,...,v'_n)$ vettore coordinato rispetto ad una base fissata $B'$, abbiamo che $v'=f(v)=lambdav <=> V'=lambdaV$. D'altra parte sappiamo che la matrice $A$ è tale che risulti $V'=AV$. Quindi $f(v)=lambdav <=> AV=lambdaV$. Ma $lambdaW$ può anche scriversi come $(lambdaI_n)V$ e quindi $lambda$ è un autovalore e $v$ è un autovettore ad esso associato, $<=> AV - (lambdaI_n)V=0$ ovvero $<=> (A-lambdaI_n)V=0$ ovvero ancora $<=>$ la n.pla $V=(v_1,...,v_n)$ è una soluzione non banale del sistema lineare omogeneo (scritto in forma matriciale) $(A-lambdaI_n)X=0$ * .
In definitiva $lambda$ è un autovalore $<=>$ esiste una soluzione non banale $v$ del sistema (*), e ciò avviene $<=> det(A-lambdaI_n)=0$ e ciò è quanto si voleva dimostrare.

Come puoi notare non è particolarmente ostico, bisogna solo tenere a mente qualche passaggio algebrico, ma è molto importante conoscere la teoria di base di autovalori ed autovettori (cosa che ti consiglio vivamente di fare).

Questo è quanto