(Z', *) non è un gruppo?

[blurb]

Salve, matefanatici!
Torno ad infastidirvi con un altro dei miei dilemmi da principiante della matematica
Sto leggendo delle dispense di algebra lineare e, parlando degli anelli, ad un certo punto si dice:
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(Z, +, *) è un anello commutativo unitario, ma non è un campo. Infatti (Z', *) non è un gruppo [soltanto 1, -1 ammettono inverso in Z]. Invece (Q, +, *) e (R, +, *) sono campi.
>>

Ora, io so che l'inverso nella moltiplicazione è il reciproco, ossia 1/x è il reciproco di x in (A, *), ma per Z pare non valere questa cosa e mi chiedevo il perché (nota: Z' := Z - {0}).
Qualcuno può cortesemente spiegarmi cosa intende dire la dispensa dicendo che il reciproco in Z esiste solo per 1 e -1?

[vict85]

Mi sembri un po’ confuso (tra l’altro hai anche sbagliato sezione del forum). Perché dici che “pare non valere questa cosa”, l'inverso di $2$, per esempio, è $1/2$ ma $1/2$ non appartiene a \(\mathbb{Z}\). Quindi no, non è un gruppo.

[blurb]

Ok, sono ufficialmente rincretinito! Grazie, vict85! Non so perché, ero convinto che Z contenesse 1/x...
Comunque mi spiace se ho sbagliato zona del forum... ero indeciso se postare qui o in Algebra, Logica, ecc. perché di fatto io questa roba la sto studiando in Algebra Lineare.
Comunque grazie ancora!

Ultima chiarificazione: Un anello non è necessariamente composto da gruppi, quindi?

[blurb]

O meglio... (A, +) deve essere un gruppo, ma (A, *) può essere anche un semigruppo, se invece è un gruppo anche (A, *), allora è un campo, giusto?

[vict85]

L'insieme degli elementi invertibili di un anello è sempre un gruppo, nel caso questo gruppo sia composto da tutti gli elementi non nulli allora ci si trova in un campo.