Wronskiano - Indipendenza Lineare di Funzioni
Date tre funzioni:
$y_1=x$
$y_2=sin(x)$
$y_3=x+4sin(x)$
Determinare se sono linearmente dipendenti.
Ho usato il Wronskiano quindi:
$W=| ( x , sin(x) , x+4sin(x) ),( 1 , cos(x) , 1+4cos(x) ),( 0 , -sin(x) , -4sin(x) ) |$
$x*|(cos(x),1+4cos(x)),(-sin(x), -4sin(x))|-1|(sin(x) ,x+4sin(x) ),(-sin(x) ,-4sin(x))|$
$x(cos(x)*(-4sin(x))-(-sin(x)*(1+4cos(x))))-((sin(x)*(-4sin(x))-(-sin(x)*(x+4sin(x)))$$=0$
quindi sono linearmente dipendenti, right?
$y_1=x$
$y_2=sin(x)$
$y_3=x+4sin(x)$
Determinare se sono linearmente dipendenti.
Ho usato il Wronskiano quindi:
$W=| ( x , sin(x) , x+4sin(x) ),( 1 , cos(x) , 1+4cos(x) ),( 0 , -sin(x) , -4sin(x) ) |$
$x*|(cos(x),1+4cos(x)),(-sin(x), -4sin(x))|-1|(sin(x) ,x+4sin(x) ),(-sin(x) ,-4sin(x))|$
$x(cos(x)*(-4sin(x))-(-sin(x)*(1+4cos(x))))-((sin(x)*(-4sin(x))-(-sin(x)*(x+4sin(x)))$$=0$
quindi sono linearmente dipendenti, right?
Risposte
Ma non c'è bisogno di usare il wronskiano.
Si vede ad occhio nudo che \(y_3(x) =y_1(x)+4y_2(x)\), quindi \(y_3\) è una combinazione lineare di \(y_1,\ y_2\); perciò le tre funzioni \(y_1,\ y_2,\ y_3\) sono linearmente dipendenti.
Si vede ad occhio nudo che \(y_3(x) =y_1(x)+4y_2(x)\), quindi \(y_3\) è una combinazione lineare di \(y_1,\ y_2\); perciò le tre funzioni \(y_1,\ y_2,\ y_3\) sono linearmente dipendenti.
Volevo sapere se, il procedimento è giusto.
Ad essere giusto, è giusto.
Ma è del tutto inutile.
RETTIFICO: No, non è proprio "giusto"... Ed aggiungo qualche commento.
In generale, due funzioni possono avere wronskiano identicamente nullo senza essere linearmente dipendenti.
Ad esempio le due funzioni:
\[
f(x):=x^2 \quad \text{e}\quad g(x):=x\ |x|=\begin{cases} x^2 &\text{, se } x\geq 0 \\ -x^2 &\text{, se } x\leq 0\end{cases}
\]
sono di classe \(C^1(\mathbb{R})\) ed il loro wronskiano è:
\[
W(f,g; x) := \begin{cases} x^2\cdot 2x - 2x\cdot x^2 &\text{, se } x\geq 0 \\ x^2\cdot (-2x) - (-x^2)\cdot 2x &\text{, se } x\leq 0 \end{cases}
\]
cioè \(W(f,g;x)=0\) in \(\mathbb{R}\); tuttavia \(f,g\) non sono linearmente dipendenti perché \(g\) non è proporzionale ad \(f\).
Insomma, l'annullarsi identicamente del wronskiano è una condizione necessaria alla dipendenza lineare, ma non sufficiente, i.e. se \(f_1,\ldots ,f_N\) sono funzioni derivabili \(N-1\) volte in un certo insieme vale l'implicazione:
\[
f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti} \qquad \Rightarrow \qquad W(f_1,\ldots ,f_N) =0
\]
e però non vale l'implicazione inversa:
\[
f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti} \qquad \not\Leftarrow \qquad W(f_1,\ldots ,f_N) =0\; .
\]
Tuttavia se le funzioni di cui si calcola il wronskiano sono analitiche nel loro insieme di definizione (i.e. se intorno ad ogni punto di tale insieme si possono sviluppare in serie di Taylor), allora la condizione \(W(f_1,\ldots ,f_N)=0\) diventa anche sufficiente alla dipendenza lineare; in altre parole vale:
\[
\begin{split}
W(f_1,\ldots ,f_N)=0 &\text{ identicamente e } f_1\ldots ,f_N \text{ sono analitiche nell'insieme di definizione} \qquad \Rightarrow \\
&\Rightarrow \qquad f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti.}
\end{split}
\]
Quest'ultimo è il tuo caso, giacché \(y_1,\ y_2,\ y_3\) sono funzioni analitiche in tutto \(\mathbb{R}\).
Quindi il ragionamento va bene... Ma per puro "caso", dato che non credo tu conoscessi il teorema appena citato.
Ma è del tutto inutile.
RETTIFICO: No, non è proprio "giusto"... Ed aggiungo qualche commento.
In generale, due funzioni possono avere wronskiano identicamente nullo senza essere linearmente dipendenti.
Ad esempio le due funzioni:
\[
f(x):=x^2 \quad \text{e}\quad g(x):=x\ |x|=\begin{cases} x^2 &\text{, se } x\geq 0 \\ -x^2 &\text{, se } x\leq 0\end{cases}
\]
sono di classe \(C^1(\mathbb{R})\) ed il loro wronskiano è:
\[
W(f,g; x) := \begin{cases} x^2\cdot 2x - 2x\cdot x^2 &\text{, se } x\geq 0 \\ x^2\cdot (-2x) - (-x^2)\cdot 2x &\text{, se } x\leq 0 \end{cases}
\]
cioè \(W(f,g;x)=0\) in \(\mathbb{R}\); tuttavia \(f,g\) non sono linearmente dipendenti perché \(g\) non è proporzionale ad \(f\).
Insomma, l'annullarsi identicamente del wronskiano è una condizione necessaria alla dipendenza lineare, ma non sufficiente, i.e. se \(f_1,\ldots ,f_N\) sono funzioni derivabili \(N-1\) volte in un certo insieme vale l'implicazione:
\[
f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti} \qquad \Rightarrow \qquad W(f_1,\ldots ,f_N) =0
\]
e però non vale l'implicazione inversa:
\[
f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti} \qquad \not\Leftarrow \qquad W(f_1,\ldots ,f_N) =0\; .
\]
Tuttavia se le funzioni di cui si calcola il wronskiano sono analitiche nel loro insieme di definizione (i.e. se intorno ad ogni punto di tale insieme si possono sviluppare in serie di Taylor), allora la condizione \(W(f_1,\ldots ,f_N)=0\) diventa anche sufficiente alla dipendenza lineare; in altre parole vale:
\[
\begin{split}
W(f_1,\ldots ,f_N)=0 &\text{ identicamente e } f_1\ldots ,f_N \text{ sono analitiche nell'insieme di definizione} \qquad \Rightarrow \\
&\Rightarrow \qquad f_1,\ldots ,f_N \text{ sono linearmente dipendenti.}
\end{split}
\]
Quest'ultimo è il tuo caso, giacché \(y_1,\ y_2,\ y_3\) sono funzioni analitiche in tutto \(\mathbb{R}\).
Quindi il ragionamento va bene... Ma per puro "caso", dato che non credo tu conoscessi il teorema appena citato.
Adesso mi serve un metodo per riconoscere le funzioni analitiche.
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