Wedge per un problema di geometria differenziale
Ciao! Mi chiedevo:
dati $v_1,...,v_k$ vettori di R^k e $A$ matrice reale kxk,
è vero che $Av_1$^...^$Av_k$=detA$v_1$^...^$v_k$ ? (^ è il wedge)
Avrei bisogno di questo fatto per una dimostrazione di geometria differenziale: una k-varietà orientabile ammette un campo di k-vettori tangente continuo e mai nullo.
Potete aiutarmi? Grazie!
dati $v_1,...,v_k$ vettori di R^k e $A$ matrice reale kxk,
è vero che $Av_1$^...^$Av_k$=detA$v_1$^...^$v_k$ ? (^ è il wedge)
Avrei bisogno di questo fatto per una dimostrazione di geometria differenziale: una k-varietà orientabile ammette un campo di k-vettori tangente continuo e mai nullo.
Potete aiutarmi? Grazie!
Risposte
Ciao "qwertyuio",
tu dici che...
questo però non è vero in generale, perchè se per esempio consideri la sfera, che è una 2-varietà orientabile, non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente ad essa....(vedi teorema della palla pelosa).
L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero ($\chi(M)$): un campo mai nullo esiste se e solo se $\chi(M) = 0$.
Questo legame è stabilito dal teorema di Poincaré-Hopf il quale afferma che se il campo vettoriale è definito su una varietà differenziabile compatta allora la somma degli indici dei suoi punti critici è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.
tu dici che...
"qwertyuio":
una k-varietà orientabile ammette un campo di k-vettori tangente continuo e mai nullo.
questo però non è vero in generale, perchè se per esempio consideri la sfera, che è una 2-varietà orientabile, non esiste un campo vettoriale continuo non nullo tangente ad essa....(vedi teorema della palla pelosa).
L'esistenza di campi vettoriali mai nulli è determinata dalla caratteristica di Eulero ($\chi(M)$): un campo mai nullo esiste se e solo se $\chi(M) = 0$.
Questo legame è stabilito dal teorema di Poincaré-Hopf il quale afferma che se il campo vettoriale è definito su una varietà differenziabile compatta allora la somma degli indici dei suoi punti critici è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.
Forse si voleva dire un campo di vettori normali...
Ma a me a lezione è stato detto proprio così! E il k-vettore tangente continuo mai nullo si dovrebbe ottenere incollando i vari pezzi del tipo $D_{x_1}p$^...^$D_{x_n}p$ dove p è una parametrizzazione locale della k-varietà.
Azzardo: sulla sfera (2-varietà) non esiste un campo di vettori tangente continuo mai nullo, ma esiste un campo di 2-vettori con queste caratteristiche? Tra l'altro, per ricollegarmi a quanto diceva luca lussardi, assegnato un 2-vettore tangente rimane determinato un vettore normale.
Azzardo: sulla sfera (2-varietà) non esiste un campo di vettori tangente continuo mai nullo, ma esiste un campo di 2-vettori con queste caratteristiche? Tra l'altro, per ricollegarmi a quanto diceva luca lussardi, assegnato un 2-vettore tangente rimane determinato un vettore normale.
se ho capito bene tu vuoi dimostrare che se hai una varietà (suppongo sia liscia) di $dim=k$ allora per ogni punto vuoi che esistano $k$ vettori tangenti non tutti nulli contemporaneamnete?
In realtà non è proprio così: una k-vettore è una scrittura formale del tipo $v_1$^...^$v_k$+...+$w_1$^...^$w_k$, dove l'operazione di ^ (wedge) è stata definita come un'operzione formale con le proprietà di multilinearità e alternanza. Per l'alternanza si vede che un k-vettore semplice (cioè un solo termine della somma) è nullo se i vettori che lo compongono sono linearmente dipendenti. Quindi se un $v_i=0$ tutto il k-vettore semplice $v_1$^...^$v_i$^...^$v_k=0$. Io, però, sto considernado i k-vettori (non solo quelli semplici), quindi potrebbe anche essere com dice miuemia
ma scusa non riesco a visualizzare bene questi k-vettori. i tuoi $v_1,...,v_k$ che sono?
$v_1,...,v_k$ sono dei vettori di $R^n$
I k-vettori semplici $v_1$^...^$v_k$ te li puoi immaginare come un insieme di k vettori caratterizzato anche dall'orientamento che questi inducono (oriario/antiorario). I k-vettori non semplici $v_1$^...^$v_k$+...+$w_1$^...^$w_k$ invece sono più difficili da immaginare
I k-vettori semplici $v_1$^...^$v_k$ te li puoi immaginare come un insieme di k vettori caratterizzato anche dall'orientamento che questi inducono (oriario/antiorario). I k-vettori non semplici $v_1$^...^$v_k$+...+$w_1$^...^$w_k$ invece sono più difficili da immaginare
Questo articolo di Wapedia spiega bene ciò a cui mi riferisco:
2. 2. Orientation of differential manifolds
Another way of thinking about orientability is thinking of it as a choice of "right handedness" vs. "left handedness" at each point in the manifold. A differentiable manifold is said to be orientable if it is possible to select coordinate transitions so that there is a consistent choice of "right-hand" in each coordinate patch. More precisely, the manifold has a coordinate atlas all of whose transition functions have positive Jacobian determinants. A maximal such atlas gives an orientation on the manifold, and the manifold so equipped is then called oriented. [1]
EQUIVALENTLY, a n-dimensional differentiable manifold is orientable if there is a consistent choice of oriented basis of tangent vectors at every point of the manifold. This can be formalized in a variety of ways, one of which is the condition that M should possesses a volume form: a differential form ω of degree n which is nonzero at every point on the manifold. Given such an n-form, the atlas consisting of local diffeomorphisms sending ω to a positive multiple of the Euclidean volume form on Rn is oriented.
Quello che dovrei dimostrare è l'equivalenza tra le due affermazioni
2. 2. Orientation of differential manifolds
Another way of thinking about orientability is thinking of it as a choice of "right handedness" vs. "left handedness" at each point in the manifold. A differentiable manifold is said to be orientable if it is possible to select coordinate transitions so that there is a consistent choice of "right-hand" in each coordinate patch. More precisely, the manifold has a coordinate atlas all of whose transition functions have positive Jacobian determinants. A maximal such atlas gives an orientation on the manifold, and the manifold so equipped is then called oriented. [1]
EQUIVALENTLY, a n-dimensional differentiable manifold is orientable if there is a consistent choice of oriented basis of tangent vectors at every point of the manifold. This can be formalized in a variety of ways, one of which is the condition that M should possesses a volume form: a differential form ω of degree n which is nonzero at every point on the manifold. Given such an n-form, the atlas consisting of local diffeomorphisms sending ω to a positive multiple of the Euclidean volume form on Rn is oriented.
Quello che dovrei dimostrare è l'equivalenza tra le due affermazioni
ahhhhh ecco ora è più chiaro. allora ti posso dare due suggerimenti: per la condizione sufficiente utilizza un ragionamento basato sulla partizione dell'unità
per la condizione necessaria devi dimostrare una cosa simile a quello che dicevi nel primo post.
A PRESTO.
per la condizione necessaria devi dimostrare una cosa simile a quello che dicevi nel primo post.
A PRESTO.
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