W doppio ortogonale = W
Mi interesserebbe provare che $W^{\bot\bot}=W$
L'inclusione $W^{\bot\bot}\supseteq W$ l'ho già fatta, quindi mi manca l'ultima parte...
Devo allora provare che $z\in W^{\bot\bot}\Rightarrow z\in W$.
Tentativo: $\forall w'\in W^\bot$ si ha $\phi(z,w')=0$. A sua volta ho $\phi(w',w)=0,\ \forall w\in W$. Ma allora posso scrivere
$\phi(z,w')=\phi(w',w).$
Applicando la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare ottengo $\phi(z-w,w')=0$, ovvero $z-w$ è ortogonale a qualunque elemento di $W^{\bot}$. Applicando la non degenerità ho $z-w=0\Rightarrow z=w$, da cui $z\in W$.
Come sembra?
L'inclusione $W^{\bot\bot}\supseteq W$ l'ho già fatta, quindi mi manca l'ultima parte...
Devo allora provare che $z\in W^{\bot\bot}\Rightarrow z\in W$.
Tentativo: $\forall w'\in W^\bot$ si ha $\phi(z,w')=0$. A sua volta ho $\phi(w',w)=0,\ \forall w\in W$. Ma allora posso scrivere
$\phi(z,w')=\phi(w',w).$
Applicando la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare ottengo $\phi(z-w,w')=0$, ovvero $z-w$ è ortogonale a qualunque elemento di $W^{\bot}$. Applicando la non degenerità ho $z-w=0\Rightarrow z=w$, da cui $z\in W$.
Come sembra?
Risposte
Non mi sembra: che $(z-w)$ sia ortogonale ad ogni elemento di $W^\bot$ non vuol dire che sia nullo.
Ciò sarebbe se fosse ortogonale ad OGNI vettore dello stesso sottospazio $W^(\bot\bot)+W$
Ciò sarebbe se fosse ortogonale ad OGNI vettore dello stesso sottospazio $W^(\bot\bot)+W$
direi di considerare l'idea di somma diretta
Ho l'ipotesi che il prodotto scalare sia NON DEGENERE: quindi se per ogni vettore di w' quel prodotto scalare fa 0, ne deduco $z-w=0$...mi sembra che quadri...
come si usa la somma diretta?
come si usa la somma diretta?
Ma scusa, anche $\phi(w, w')=0, \AAw'\inW^\bot$, ma non puoi
concludere $w=0$-questo sarebbe se $w$ e $w'$ fossero nello stesso sottospazio.
Ho pensato:
ogni vettore $v$ dello spazio $V$ di cui $W$ è sottospazio, si
può scrivere in modo univoco come$v=w+w'$,$w\inW,w'\inW^\bot$
Questa è la somma diretta.
D'altronde, univocamente $v=w'+z$,$z\inW^(\bot\bot)$.
Concludo $z-=w$
concludere $w=0$-questo sarebbe se $w$ e $w'$ fossero nello stesso sottospazio.
Ho pensato:
ogni vettore $v$ dello spazio $V$ di cui $W$ è sottospazio, si
può scrivere in modo univoco come$v=w+w'$,$w\inW,w'\inW^\bot$
Questa è la somma diretta.
D'altronde, univocamente $v=w'+z$,$z\inW^(\bot\bot)$.
Concludo $z-=w$
COs'è quel simbolo a tre lettere?
quale?
$\equiv$.
Ah gia che ci siamo un altro aiutino (possibilmente)...volendo dimostrare che
$W^\bot\cap U^\bot=(W+U)^\bot=$
L'inclusione che mi viene difficile è quella contraria... non ci sono ipotesi sulla degenerità o meno del prodotto scalare, motivo per cui sono supposto a credere che qui non si usi la somma diretta..
$x\in (W+U)^\bot = \phi(x,w+u)=0,\forall w\in W, u\in U\Rightarrow\phi(x,u)+\phi(x,w)=0$.
Mi premerebbe dimostrare che x deve appartenere sia all'ortogonale di W che a quello di U. Come faccio a dedurre che
$\phi(x,u)=0$
$\phi(x,w)=0$
?
Ah gia che ci siamo un altro aiutino (possibilmente)...volendo dimostrare che
$W^\bot\cap U^\bot=(W+U)^\bot=$
L'inclusione che mi viene difficile è quella contraria... non ci sono ipotesi sulla degenerità o meno del prodotto scalare, motivo per cui sono supposto a credere che qui non si usi la somma diretta..
$x\in (W+U)^\bot = \phi(x,w+u)=0,\forall w\in W, u\in U\Rightarrow\phi(x,u)+\phi(x,w)=0$.
Mi premerebbe dimostrare che x deve appartenere sia all'ortogonale di W che a quello di U. Come faccio a dedurre che
$\phi(x,u)=0$
$\phi(x,w)=0$
?
Ah! ho usato il simbolo "$-=$' per dire "coincide"
capisco...e per l'altro esercizio?
Aspetta, scusa...anche per il primo esercizio c'è qualcosa che non mi convince, e precisamente c'è il fatto che hai usato la stessa $w'$ sia nella prima che nella seconda scrittura...non c'è niente che mi garantisce che i due vettori contenuti in W ortogonale che hai indicato con $w'$ siano lo stesso vettore...dalla definizione di somma diretta so che esistono e sono unici un vettore di W ortogonale e uno di W ortogonale ortogonale che sommati fanno QUEL vettore di v...
Aspetta, scusa...anche per il primo esercizio c'è qualcosa che non mi convince, e precisamente c'è il fatto che hai usato la stessa $w'$ sia nella prima che nella seconda scrittura...non c'è niente che mi garantisce che i due vettori contenuti in W ortogonale che hai indicato con $w'$ siano lo stesso vettore...dalla definizione di somma diretta so che esistono e sono unici un vettore di W ortogonale e uno di W ortogonale ortogonale che sommati fanno QUEL vettore di v...
sì, intendevo quello:
$v$ è uguale al tale vettore $w\inW$ sommato al tale vettore $w' \in W^\dot$.
Ora prendo questo stesso vettore $w'$, e so che esiste ed è unico il vettore $z \in W^(\dot\dot)$
tale che che $v=w'+z$
perciò $w'+w=w'+z$ e concludo che $w$ e $z$ sono lo stesso vettore.
$v$ è uguale al tale vettore $w\inW$ sommato al tale vettore $w' \in W^\dot$.
Ora prendo questo stesso vettore $w'$, e so che esiste ed è unico il vettore $z \in W^(\dot\dot)$
tale che che $v=w'+z$
perciò $w'+w=w'+z$ e concludo che $w$ e $z$ sono lo stesso vettore.
"So che esiste"...la scrittura UNICA con cui si scrive v come somma di un elemento di $W^\bot$ e di un elemento di $W^{\bot\bot}$ non mi garantisce che il vettore di U sia uguale a quello precedente...
chiarisco meglio il mio dubbio.
So che $V=W^{\bot}\oplus W^{\bot\bot}$. Allora dato un v esistono UNICI $j\in W^{\bot},k\in W^{\bot\bot}$ tali che $v=j+k$. Non posso cioè dire "dato un j esiste un unico vettore k tale che v = j+k"...infatti quella che è UNICA è proprio la coppia (j,k)...Ecco perchè non mi va giù che imponi che un vettore sia proprio w'...
chiarisco meglio il mio dubbio.
So che $V=W^{\bot}\oplus W^{\bot\bot}$. Allora dato un v esistono UNICI $j\in W^{\bot},k\in W^{\bot\bot}$ tali che $v=j+k$. Non posso cioè dire "dato un j esiste un unico vettore k tale che v = j+k"...infatti quella che è UNICA è proprio la coppia (j,k)...Ecco perchè non mi va giù che imponi che un vettore sia proprio w'...
Dato$j$ e $v$, direi $k$ è determinato.
$j$, per esempio, è la proiezione di $v$ sul sottospazio $W^\bot$.
Vi sono infiniti vettori che hanno la stessa proiezione, ma, fissatone uno, allora
la proiezione sull'ortogonale, cioè $k$, è determinata.
per quanto riguarda il secondo quesito:
chiamo intanto per semplicità di notazione $W°-=W"\"(W\capU)$
e $U°-=U"\"(W\capU)$
e $I-=(W\capU)$.
Ora, $W+U=W°\oplusI\oplusU°$,
cioè l'insieme delle coordinate di$z\inW+U$ è composto dai tre sottoinsiemi disgiunti delle
coordinate su una base qualsiasi di $W°$,
delle coordinate su una base qualsiasi di $I$ e di quelle su una base qualsiasi di $U$.
(non ci interessa ora affermare qualcosa sulla unicità della rappresentazione).
Che $x$ sia nell'ortogonale a $W+U$, vuol dire che la sua proiezione
su $W+U$ è il vettore nullo.
Cioè sono nulle tutte le coordinate di questa proiezione : coordinate nulle sulle tre basi.
Ora, $W°\oplusI=W$
e
$U°\oplusI=U$
Perciò la proiezione di $x$ su $W$ è il vettore nullo di $W$,
e la proiezione di $x$ su $U$ è il vettore nullo di $U$,
cioè $x\inW^\bot\capU^\bot$
$j$, per esempio, è la proiezione di $v$ sul sottospazio $W^\bot$.
Vi sono infiniti vettori che hanno la stessa proiezione, ma, fissatone uno, allora
la proiezione sull'ortogonale, cioè $k$, è determinata.
per quanto riguarda il secondo quesito:
chiamo intanto per semplicità di notazione $W°-=W"\"(W\capU)$
e $U°-=U"\"(W\capU)$
e $I-=(W\capU)$.
Ora, $W+U=W°\oplusI\oplusU°$,
cioè l'insieme delle coordinate di$z\inW+U$ è composto dai tre sottoinsiemi disgiunti delle
coordinate su una base qualsiasi di $W°$,
delle coordinate su una base qualsiasi di $I$ e di quelle su una base qualsiasi di $U$.
(non ci interessa ora affermare qualcosa sulla unicità della rappresentazione).
Che $x$ sia nell'ortogonale a $W+U$, vuol dire che la sua proiezione
su $W+U$ è il vettore nullo.
Cioè sono nulle tutte le coordinate di questa proiezione : coordinate nulle sulle tre basi.
Ora, $W°\oplusI=W$
e
$U°\oplusI=U$
Perciò la proiezione di $x$ su $W$ è il vettore nullo di $W$,
e la proiezione di $x$ su $U$ è il vettore nullo di $U$,
cioè $x\inW^\bot\capU^\bot$
Ma questa definizione di somma diretta
$V=X\oplus Y\Leftrightarrow \forall v\in V \exists x\in X,\exists y\in Y$ unici tali che $v=x+y$
è corretta? Perchè è quella dei miei appunti, ma non riesco ad armonizzarla col fatto che ad essere univocamente determinato è solo uno dei due,e non entrambi...
$V=X\oplus Y\Leftrightarrow \forall v\in V \exists x\in X,\exists y\in Y$ unici tali che $v=x+y$
è corretta? Perchè è quella dei miei appunti, ma non riesco ad armonizzarla col fatto che ad essere univocamente determinato è solo uno dei due,e non entrambi...
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