Volume tetraedro
Nello spazio tridimensionale si consideri il tetraedro $\Delta$, di vertici
$P_0 =(0,0,-3)$,
$P_1 =(1,1,0)$,
$P_2 =(1,0,2)$,
$p_3 =(0,1,1)$.
si calcoli il volume V di $\Delta
calcolo i vettori $\vec P_0P_1 =(1,1,3)$ , $\vec P_0P_2 =(1,0,5)$ , $\vec P_0P_3 =(0,1,4)$
quindi il volume $V = 1/(3!)*sqrt(det T)$ dove $T=W^t*W= ((1,1,3),(1,0,5),(0,1,4))*((1,1,0),(1,0,1),(3,5,4)) = ((11,16,13),(16,26,20),(13,20,17))$
$det T=36$ quindi $V = 1/6*6 =1$
e fin qua spero sia giusto..
poi chiede:
si consideri la retta $r$, passante per l'origine e parallela al vettore $v=(3,2,0)$. Si determinino gli estremi del segmento $Q_1Q_2$, costituito dai punti di $r$ che cadono all'interno di $\Delta$ e se ne calcoli la lunghezza.
quindi $ r= (0,0,0) +<(3,2,0)> oppure $r: {(2x-3y=0),(z=0):}
poi cerco il piano di $P_0,P_1,P_2$ : $(0,0,-3) +<(1,1,3),(1,0,5)>$ in forma cartesiana: $p_1:5x-2y-z-3=0$
analogamente trovo gli altri tre piani contenenti le superficie esterne del tetraedro:
$p_2: x-4y+z+3=0$
$p_3: 5x+4y-z-3=0$
$p_4: x+2y+z-3=0$
Poi, trovo l'intersezione tra $r$ e $p_1$ :{(2x-3y=0),(z=0),(5x-2y-z-3=0):}$ cioè $r nnn p_1 = {(9/11, 6/11,0)}$
analogamente $r nnn p_2 = {(9/5, 6/5,0)}$, $r nnn p_3 = {(9/23, 6/23,0)}$, $r nnn p_4 = {(9/7, 6/7,0)}$
e qua penso proprio di aver sbagliato qualcosa: come è possibile che una retta intersechi le superficie esterne di un tetraedro in quattro diversi punti?
$P_0 =(0,0,-3)$,
$P_1 =(1,1,0)$,
$P_2 =(1,0,2)$,
$p_3 =(0,1,1)$.
si calcoli il volume V di $\Delta
calcolo i vettori $\vec P_0P_1 =(1,1,3)$ , $\vec P_0P_2 =(1,0,5)$ , $\vec P_0P_3 =(0,1,4)$
quindi il volume $V = 1/(3!)*sqrt(det T)$ dove $T=W^t*W= ((1,1,3),(1,0,5),(0,1,4))*((1,1,0),(1,0,1),(3,5,4)) = ((11,16,13),(16,26,20),(13,20,17))$
$det T=36$ quindi $V = 1/6*6 =1$
e fin qua spero sia giusto..
poi chiede:
si consideri la retta $r$, passante per l'origine e parallela al vettore $v=(3,2,0)$. Si determinino gli estremi del segmento $Q_1Q_2$, costituito dai punti di $r$ che cadono all'interno di $\Delta$ e se ne calcoli la lunghezza.
quindi $ r= (0,0,0) +<(3,2,0)> oppure $r: {(2x-3y=0),(z=0):}
poi cerco il piano di $P_0,P_1,P_2$ : $(0,0,-3) +<(1,1,3),(1,0,5)>$ in forma cartesiana: $p_1:5x-2y-z-3=0$
analogamente trovo gli altri tre piani contenenti le superficie esterne del tetraedro:
$p_2: x-4y+z+3=0$
$p_3: 5x+4y-z-3=0$
$p_4: x+2y+z-3=0$
Poi, trovo l'intersezione tra $r$ e $p_1$ :{(2x-3y=0),(z=0),(5x-2y-z-3=0):}$ cioè $r nnn p_1 = {(9/11, 6/11,0)}$
analogamente $r nnn p_2 = {(9/5, 6/5,0)}$, $r nnn p_3 = {(9/23, 6/23,0)}$, $r nnn p_4 = {(9/7, 6/7,0)}$
e qua penso proprio di aver sbagliato qualcosa: come è possibile che una retta intersechi le superficie esterne di un tetraedro in quattro diversi punti?
Risposte
Non e' che hai sbagliato qualcosa.
Il fatto e' che tu consideri un intero piano, ma la faccia del tetraedro e' solo una piccola area del piano.
La retta attraversa sempre il piano, ma puo' attraversare dentro o fuori l'area.
Ora una retta che attraversa $Delta$ attraversa solo 2 delle sue facce, penso che sia ovvio.
Si dovrebbe trovare un modo per determinare se $ r $ attraversi o no la faccia, quindi ricavare la distanza.
Il fatto e' che tu consideri un intero piano, ma la faccia del tetraedro e' solo una piccola area del piano.
La retta attraversa sempre il piano, ma puo' attraversare dentro o fuori l'area.
Ora una retta che attraversa $Delta$ attraversa solo 2 delle sue facce, penso che sia ovvio.
Si dovrebbe trovare un modo per determinare se $ r $ attraversi o no la faccia, quindi ricavare la distanza.
grazie!
cavoli, è vero, ho considerato l'intero piano...
ma come faccio ora a vedere se quei punti sono dentro o fuori l'area?
cavoli, è vero, ho considerato l'intero piano...
ma come faccio ora a vedere se quei punti sono dentro o fuori l'area?
ho trovato la soluzione scrivendo i punti del simplesso $P_0,P_1,P_2,P_3$ tramite coordinate baricentriche.
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