Volume parallelepipedo dati due vettori.

[Rameses]

Buongiorno ragazzi, stavo risolvendo un problema di geometria ed algebra riguardo ai vettori e al volume del parallelepipedo da essi definito, il problema è che sono noti solo i vettori u e v. Come faccio a trovarmi il terzo vettore per applicare la regola del prodotto misto? Il vettore che devo trovare deve essere ortogonale?
Il testo dell'esercizio è il seguente:

Si considerino i vettori u=[1;1;2] e v=[4;1;2]. Calcolare il volume del parallelepipedo individuato da u, v e j.
So inoltre, disponendo dei risultati degli esercizi, che tale volume deve dare 6.

Non scrivo tutti i vari passaggi da me fatti (che, dal momento che non mi hanno dato credo siano sbagliati) ma vi dico almeno come ho ragionato.
Ho due vettori, mi serve un terzo che sia ortogonale ad entrambi per poi applicare la regola del prodotto misto. Ho provato a trovare un vettore ortogonale ad entrambi applicando prima il prodotto vettoriale tra u e v (piccola domanda: il prodotto vettoriale fra due vettori ne restituisce sempre un terzo ortogonale ad entrambi?) e poi il sistema di equazioni, ma in entrambi casi ho ottenuto risultati.
Potete aiutarmi?
Ringrazio in anticipo per le risposte,
Rameses.

[niccoset]

Il terzo vettore te lo dà il testo: è il vettore j ovvero (0,1,0). Facendo il prodotto misto tra u,v e j ottieni il volume del parallelepipedo.