Volume cilindro in $RR^4$
ciao a tutti,
ho la seguente domanda:
se volessi determinare il volume di un cilindro in $RR^4$ come dovrei fare?
visto che la base sarebbe una sfera bidimensionale, è del tipo $4/3 \pi r^{3}h$
dove $h$ è l'altezza e $r$ è il raggio della sfera?
grazie a tutti
ho la seguente domanda:
se volessi determinare il volume di un cilindro in $RR^4$ come dovrei fare?
visto che la base sarebbe una sfera bidimensionale, è del tipo $4/3 \pi r^{3}h$
dove $h$ è l'altezza e $r$ è il raggio della sfera?
grazie a tutti
Risposte
Il volume è un integrale che puoi calcolare in coordinate cilindriche in [tex]$\mathbb{R}^4$[/tex].
Visto che mi voglio rovinare, suppongo di avere un cilindro [tex]$C$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]; a meno di rotazioni e traslazioni, suppongo pure che il cilindro sia già scritto nella forma:
[tex]$C=B^\prime (o;r)\times ]0,h[:=\Big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^N:\ \text{$x\in B^\prime (o;r)$ ed $y\in ]0,h[$}\Big\}$[/tex],
in cui [tex]$N\geq 2$[/tex], [tex]$r,h>0$[/tex], [tex]$o:=(0,\ldots ,0)\in \mathbb{R}^{N-1}$[/tex] e [tex]$B^\prime (o;r):=\{x\in \mathbb{R}^{N-1}:\ |x|
[tex]$|C|_N:=\int_C 1\ \text{d}x \text{d} y=\int_0^h \left\{ \int_{B^\prime (o;r)} 1\ \text{d} x\right\}\ \text{d} y=\int_0^h \omega_{N-1}\ r^{N-1}\ \text{d} y =\omega_{N-1}\ r^{N-1}\ h$[/tex],
ove [tex]\omega_{N-1}:=|B^\prime (o;1)|_{N-1}=\frac{\pi^{\frac{N-1}{2}}}{\Gamma (\frac{N-1}{2} +1)}[/tex] è la misura della palla aperta unitaria di [tex]$\mathbb{R}^{N-1}$[/tex].
Nel caso [tex]$N=4$[/tex] la formula precedente restituisce:
[tex]$|C|_N=\omega_3\ r^3\ h=\tfrac{4}{3}\ \pi\ r^3\ h$[/tex]
come avevi pronosticato.
Visto che mi voglio rovinare, suppongo di avere un cilindro [tex]$C$[/tex] di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex]; a meno di rotazioni e traslazioni, suppongo pure che il cilindro sia già scritto nella forma:
[tex]$C=B^\prime (o;r)\times ]0,h[:=\Big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^N:\ \text{$x\in B^\prime (o;r)$ ed $y\in ]0,h[$}\Big\}$[/tex],
in cui [tex]$N\geq 2$[/tex], [tex]$r,h>0$[/tex], [tex]$o:=(0,\ldots ,0)\in \mathbb{R}^{N-1}$[/tex] e [tex]$B^\prime (o;r):=\{x\in \mathbb{R}^{N-1}:\ |x|
[tex]$|C|_N:=\int_C 1\ \text{d}x \text{d} y=\int_0^h \left\{ \int_{B^\prime (o;r)} 1\ \text{d} x\right\}\ \text{d} y=\int_0^h \omega_{N-1}\ r^{N-1}\ \text{d} y =\omega_{N-1}\ r^{N-1}\ h$[/tex],
ove [tex]\omega_{N-1}:=|B^\prime (o;1)|_{N-1}=\frac{\pi^{\frac{N-1}{2}}}{\Gamma (\frac{N-1}{2} +1)}[/tex] è la misura della palla aperta unitaria di [tex]$\mathbb{R}^{N-1}$[/tex].
Nel caso [tex]$N=4$[/tex] la formula precedente restituisce:
[tex]$|C|_N=\omega_3\ r^3\ h=\tfrac{4}{3}\ \pi\ r^3\ h$[/tex]
come avevi pronosticato.
grazie mille per il chiarimento molto preciso.
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