Volume

[ELWOOD1]

Ciao a tutti....mi servirrebbe un aiutino per impostare questi esercizi,(soprattutto il secondo) perchè proprio non so come muovermi

1. Calcolare il volume interno al paraboloide $z=x^2+y^2$ e alla superficie sferica $x^2+y^2+z^2=12$.

In questo io ho trovato l'intersezione e in coordinate cilindriche ho provato a svolgere l'integrale ma mi viene un valore negativo



2. Sia $E$ il solido ottenuto facendo ruotare di un giro completo attorno all'asse y il seguente insieme:

$D=\{(x,y)\in \textiR^2 : x\geq0, -1\leq y \leq log(\frac{1}{x^2+1})}$

Si calcoli:


$intintint_E\frac{2}{1+x^2+z^2}$

e qui zero assoluto!

Grazie

[Sk_Anonymous]

Questo post e' rimasto senza risposta:provo a farlo io.Sperando che ancora serva
ad Elwood.
1° es.
L'intersezione della sfera [di centro (0,0,0) e raggio $2sqrt(3)$] e' il cerchio
limitato dalla circonferenza di equazioni:
${(x^2+y^2+z^2=12),(z=x^2+y^2):}$ ovvero ${(z=3),(x^2+y^2=z):}$
Conviene dividere il calcolo in due parti (con volumi V1 e V2) ,l'una relativa
al paraboloide e con $0<=z<=3$ e l'altra relativa alla sfera e con
$3<=z<=2sqrt3$
Operando in coordinate cilindriche risulta:
$V_1=int_0^(2 pi)d phi int_0^3 dz int_0^sqrtz rho d rho=2 pi int_0^3 1/2zdz=pi int_0^3 z dz=9/2 pi$
$V_2=int_0^(2pi)d phi int_3^(2sqrt3)dz int_0^(sqrt(12-z^2)) rho d rho$
e cioe':
$V_2=2 pi int _3^(2sqrt3) 1/2(12-z^2)dz=pi(16sqrt3-27)$
Pertanto:
$V_t=V_1+V_2=(pi)/2(32sqrt3-45)$
Personalmente avrei fatto ricorso al metodo delle fette (!!) o di Cavalieri
che del resto e' implicito nei calcoli precedenti.
2° es.
Studiando la funzione $y=-ln(1+x^2)$ si trova la curva (in nero) di fig.1
La zona in rosso e' il dominio D ,ruotando il quale attorno all'asse y
si ottiene l'insieme E (in verde ) della fig.2
Tale ultimo dominio e' limitato dai piani $y=-1,y=0$ e dalla superficie
$y=-ln(1+x^2+y^2)$ ( da cui $x^2+y^2=e^(-y)-1$ )
Pertanto l'integrale T richiesto diventa:
$T=int_(-1)^0 dy int _(-sqrt(e^(-y)-1))^(+sqrt(e^(-y)-1))dx int _(-sqrt(e^(-y)-1-x^2))^(+sqrt(e^(-y)-1-x^2))1/(1+x^2+z^2)dz $
Ora accade che l'ultimo integrale (rispetto a z) e' facile perche' una primitiva
di $1/(1+x^2+z^2)$ e' $1/(sqrt(1+x^2))arctan(z/(sqrt(1+x^2)))$
ma le successive integrazioni sono impossibili in termini espliciti.
Poiche' il procedimento da me seguito e' giusto (e' il medesimo usato nel 1° es.)
mi sono chiesto se per caso non vi sia un errore nella traccia .
karl

[ELWOOD1]

Eccome se mi ha servito!!!!Grazie mille!
non ho capito tanto bene alcune cose ma vedrò di ragionarci sopra....
comunque si l'esercizio è proprio così (es n°3 del 27giugno 2005 di calcolo 2) http://www.ing.unitn.it/~sabatini/[/img]