Volume
Sarò grato a chi vorrà provare a risolvere questo esercizio per vedere il suo metodo risolutivo, a me i calcoli vengono parecchio brutti...:
Calcolare il volume in $R^3$ del solido individuato dall'intersezione delle superfici:
1) $z=4-y^2$------ (ps:è tipo un cilindro)
2) $z=2x^2+y^2$------ (ps:è tipo un paraboloide)
thx
Calcolare il volume in $R^3$ del solido individuato dall'intersezione delle superfici:
1) $z=4-y^2$------ (ps:è tipo un cilindro)
2) $z=2x^2+y^2$------ (ps:è tipo un paraboloide)
thx
Risposte
per controllare se ho fatto i conti bene, come ti esce D?
Mi sembra che il dominio possa essere rappresentato come
$2x^2+y^2
$V=int_(x^2+y^2<2)(4-2x^2-2y^2)dxdy$
adesso si possono utilizzare le coordinate polari.
$2x^2+y^2
$V=int_(x^2+y^2<2)(4-2x^2-2y^2)dxdy$
adesso si possono utilizzare le coordinate polari.
ok, confermo
ok, grazie! mi ero interstardito a voler sezionare il solido con piani orizzontali (anche perchè così il volume di metà del solido era immediato), invece in effetti è molto più comodo integrare prima lungo $z$... speriamo di prenderci la mano in fretta con questi integrali...
grazie mille ad entrambi cmq.... alla prox!
grazie mille ad entrambi cmq.... alla prox!
scusate, visto che siete stati così gentili, potreste dirmi qualcosa anche su questo esercizio? come al solito, il mio procedimento è lungo e calcoloso, e non ne intravedo di più brevi.... 
...
$\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz$ ps: il testo è corretto!! (c'è proprio una $z$, non una $x$, nel caso qualcuno se lo stesse chiedendo
)
con $D={(x,y,z)|x^2+y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}$
io ho sostituito $z-1=f$ e poi sono passato in coordinate cilindriche $f=\r*sin(\theta), y=\r*cos(theta),x=x$... e poi ho integrato su $x$, $\r$ e $\theta$, nell'ordine.
L'integrazione in $x$ avrei potuto farla anche all'inizio, mentre integrare prima in $\r$ e dopo in $\theta$ piuttosto che il viceversa porta a calcoli piuttosto diversi (in un caso si integra con difficoltà, ma si fà, nell'altro ci sono un pò di problemi con il dominio ed è quello che ho scelto io)...
voi cosa fareste??? qualcosa di diverso??
... $\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz$ ps: il testo è corretto!! (c'è proprio una $z$, non una $x$, nel caso qualcuno se lo stesse chiedendo
)con $D={(x,y,z)|x^2+y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}$
io ho sostituito $z-1=f$ e poi sono passato in coordinate cilindriche $f=\r*sin(\theta), y=\r*cos(theta),x=x$... e poi ho integrato su $x$, $\r$ e $\theta$, nell'ordine.
L'integrazione in $x$ avrei potuto farla anche all'inizio, mentre integrare prima in $\r$ e dopo in $\theta$ piuttosto che il viceversa porta a calcoli piuttosto diversi (in un caso si integra con difficoltà, ma si fà, nell'altro ci sono un pò di problemi con il dominio ed è quello che ho scelto io)...
voi cosa fareste??? qualcosa di diverso??
Nel primo esercizio non avrei utilizzato le coordinate polari, avrei notato che intersecando le due superfici con un piano x=c si ottengono due parabole , quindi mi sarei calcolato l'area racchiusa tra le due (in funzione di x) moltiplicato per dx e integrato rispetto ad x ... per il secondo esercizio non saprei.
Avevo pensato di fare così: integro prima in x, l'intervallo di integrazione è $[-sqrt(1-y^2-(z-1)^2),sqrt(1-y^2-(z-1)^2)]$, quindi
$\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz=int 2sqrt(1-y^2-(z-1)^2)/sqrt(2z-z^2-y^2)dydz=int_(y^2+z^2<=1)2dydz=2pi$
giusto?
$\int_{D} \frac{1}{\sqrt(2z-z^2-y^2)} dxdydz=int 2sqrt(1-y^2-(z-1)^2)/sqrt(2z-z^2-y^2)dydz=int_(y^2+z^2<=1)2dydz=2pi$
giusto?
non capisco il modo in cui dopo aver integrato sulla x scegli il dominio sul piano (y,z), Luca....
in particolare per come lo scegli te nei calcoli tieni l'espressione $sqrt(2z-z^2-y^2)$ e poi integri su tutto il cerchio. Ma se prendiamo per esempio:
$y_0=1/2$, $z_0=1/40$.
$(y_0,z_0)$ appartiene al cerchio di raggio unitario, ma il radicando vale $-121/600$, e quindi la radice non esiste
ora questo pone problemi...... o no????
diamine non ho un buon rapporto con questi integrali...
in particolare per come lo scegli te nei calcoli tieni l'espressione $sqrt(2z-z^2-y^2)$ e poi integri su tutto il cerchio. Ma se prendiamo per esempio:
$y_0=1/2$, $z_0=1/40$.
$(y_0,z_0)$ appartiene al cerchio di raggio unitario, ma il radicando vale $-121/600$, e quindi la radice non esiste
ora questo pone problemi...... o no????
diamine non ho un buon rapporto con questi integrali...
@luca.barletta
una furbata (poi basta, sono già due incensate che ti pigli oggi!)
@Thomas
luca.barletta ha fatto quello per cui l'esercizio era stato costruito
è ovvio che l'integrando è stato scelto appositamente, pensando a quella riduzione
direi che si tratta di un esercizio un po' carogna...
una furbata (poi basta, sono già due incensate che ti pigli oggi!)
@Thomas
luca.barletta ha fatto quello per cui l'esercizio era stato costruito
è ovvio che l'integrando è stato scelto appositamente, pensando a quella riduzione
direi che si tratta di un esercizio un po' carogna...
Hai ragione, non ho tenuto conto della prima parte del dominio, vabbè cambia poco, basta farsi un disegnino del dominio sul piano yz: un cerchio di raggio 1 con centro in (0,0) e un cerchio di raggio 1 con centro in (0,1). Quello che cerchi è l'area della sovrapposizione.
@ fioravante
mi son perso la prima incensata, dove?
mi son perso la prima incensata, dove?
non era mia, mi riferivo a quella di superpunk733
ciao
ciao
mmm.... non è che "cambia poco"... in effetti si può vedere (io non l'ho visto gemetricament) come area della zona di piano che rispetta:
$x^2+y^2<=1$
$2z-z^2-y^2>=0$
che sono due circonferenze... ed a questo punto bisogna calcolare l'area dell'intersezione...
se vuoi procedere gemoetricamente si può fare guardando l'area della calotta e delle circonferenze... e forse (anzi quasi sicuramente) è la via migliore, anche se non priva di calcoli.... del resto questo modo di vedere la cosa esprime il fatto che forse un metodo privo di calcoli non c'è.... alla fine quell'area bisogna pur calcolarsela...
$x^2+y^2<=1$
$2z-z^2-y^2>=0$
che sono due circonferenze... ed a questo punto bisogna calcolare l'area dell'intersezione...
se vuoi procedere gemoetricamente si può fare guardando l'area della calotta e delle circonferenze... e forse (anzi quasi sicuramente) è la via migliore, anche se non priva di calcoli.... del resto questo modo di vedere la cosa esprime il fatto che forse un metodo privo di calcoli non c'è.... alla fine quell'area bisogna pur calcolarsela...
l'espressione "cambia poco" era riferito al fatto che bisognava considerare anche l'altra condizione del dominio, logicamente il risultato cambia, e non di poco
@ fioravante
ho presente l'incensata di superpunk733, ma l'altra?
@ fioravante
ho presente l'incensata di superpunk733, ma l'altra?
per il dominio ho considerato che lavoriamo su yz, quindi x=0, diventa:
$D_(yz)={(y,z)inRR^2|y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}
$D_(yz)={(y,z)inRR^2|y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}
@luca.barletta
la mia...
intendevo 2 compresa la mia, quella che ti stavo facendo. Non montarti la testa, neh!
ciao
la mia...
intendevo 2 compresa la mia, quella che ti stavo facendo. Non montarti la testa, neh!
ciao
@ fioravante
usti, grazie allora, ti si fa un complimento e neanche te ne accorgi, eheh
usti, grazie allora, ti si fa un complimento e neanche te ne accorgi, eheh
"luca.barletta":
per il dominio ho considerato che lavoriamo su yz, quindi x=0, diventa:
$D_(yz)={(y,z)inRR^2|y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}
no aspe... un pò di precisione che devo imparare... come hai trovato questo dominio?
non devi mica considerare la proizione del dominio iniziale sul piano $y,z$???...
il che è diveso dall'intersecare il dominio con il piano x=0!
In questo caso le due cose coincidono perchè la prima superficie è una palla
"Thomas":
[quote="luca.barletta"]per il dominio ho considerato che lavoriamo su yz, quindi x=0, diventa:
$D_(yz)={(y,z)inRR^2|y^2+(z-1)^2<=1,y^2+z^2<=1}
no aspe... un pò di precisione che devo imparare... come hai trovato questo dominio?
non devi mica considerare la proizione del dominio iniziale sul piano $y,z$???...
il che è diveso dall'intersecare il dominio con il piano x=0![/quote]
veri entrambi...
ovviamente va considerata la proiezione!
ma la proiezione coincide con l'intersezione per $x=0$ (è la zona più "grassa" del dominio di integrazione)
s.e.o.
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