Vivendo sulle superfici
Salve!
sto cercando di capire la relatività generale e le mie riflessioni mi hanno portato a vari dubbi....
Il punto iniziale è che non capisco più bene cosa vogliano dire le coordinate (x,y,z,t) in relatività generale, essendo queste oramai svincolate dal senso fisico di posizione e tempo, a quanto mi pare di capire... ora lasciamo perdere la relatività alla quale tornerò a pensare dopo aver chiarito questo...
Un'idea che mi pareva carina era fare un parallelo con la geometria differenziale di superfici in R^3... se noi abbiamo una superficie immersa, considerata addirittira il grafico di una funzione da R^2 in R, insomma dei punti (x,y,f(x,y)) e vivessimo su questo grafico come oggetti puntiformi (per "vivere" intendo che la gravità deve essere normale alla superficie) avremmo la nostra idea di mondo bidimensionale, ma le coordinate x,y iniziali avrebbero perso qualsiasi senso spaziale... avremmo potuto sceglierne delle altre per parametrizzare la nostra superficie ed a noi non sarebbe cambiato nulla...
In questa analogia un 'cambiamento del sistema di riferimento' vorrebbe essere una isometria tra la superficie ed un'altra superficie.
detto questo mi chiedo... se noi vivessimo in questa superficie vorremmo comunque accorgerci in qualche modo accorgere di non essere in uno spazio piatto, ovvero di non essere isometrici ad un aperto del piano...
Ma come si fa? se noi vivessimo in R^3 potremmo calcolare la seconda forma fondamentale fare determinanti vari e concludere la non isometria.... matematicamente tutto molto bello...
ma se viviamo sulla superficie e non conosciamo nulla di questa se non le misure che possiamo fare (per esempio le lunghezze delle geodetiche) come si può procedere?????????...
sto cercando di capire la relatività generale e le mie riflessioni mi hanno portato a vari dubbi....
Il punto iniziale è che non capisco più bene cosa vogliano dire le coordinate (x,y,z,t) in relatività generale, essendo queste oramai svincolate dal senso fisico di posizione e tempo, a quanto mi pare di capire... ora lasciamo perdere la relatività alla quale tornerò a pensare dopo aver chiarito questo...
Un'idea che mi pareva carina era fare un parallelo con la geometria differenziale di superfici in R^3... se noi abbiamo una superficie immersa, considerata addirittira il grafico di una funzione da R^2 in R, insomma dei punti (x,y,f(x,y)) e vivessimo su questo grafico come oggetti puntiformi (per "vivere" intendo che la gravità deve essere normale alla superficie) avremmo la nostra idea di mondo bidimensionale, ma le coordinate x,y iniziali avrebbero perso qualsiasi senso spaziale... avremmo potuto sceglierne delle altre per parametrizzare la nostra superficie ed a noi non sarebbe cambiato nulla...
In questa analogia un 'cambiamento del sistema di riferimento' vorrebbe essere una isometria tra la superficie ed un'altra superficie.
detto questo mi chiedo... se noi vivessimo in questa superficie vorremmo comunque accorgerci in qualche modo accorgere di non essere in uno spazio piatto, ovvero di non essere isometrici ad un aperto del piano...
Ma come si fa? se noi vivessimo in R^3 potremmo calcolare la seconda forma fondamentale fare determinanti vari e concludere la non isometria.... matematicamente tutto molto bello...
ma se viviamo sulla superficie e non conosciamo nulla di questa se non le misure che possiamo fare (per esempio le lunghezze delle geodetiche) come si può procedere?????????...
Risposte
forse ho trovato qualcosa...
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
c'è scritto un metodo operativo per calcolare la curvatura gaussiana rimanendo sulla superficie!....... è gia qualcosa... perlomeno posso capire se sto sul piano o meno... rimane da capire come posso ricostruire ' tutta la superficie' rimanendo sul piano.... così ad occhio direi che la posso ricostruire in qualche senso 'a meno di isometrie'... voi che ne pensate?
ln ogni caso mi pare buona questa intepretazione di spazio tempo: questa è una varietà reale 4-dimensionale che ammette una parametrizzazione globale data da x,y,z,t, dove i nomi di queste variabili sono totalmente casuali e scelte per motivi che saranno chiari solo in seguito
... la metrica sulla parametrizzazione è fatto in modo che la funzione $\phi$ associata alla parametrizzazione sia una isometria. Passare da un sistema di riferimento ad un altro vuol dire cambiare parametrizzazione (un pò diverso da quanto dicevo prima).
Rimane da capire cosa sono le osservabili fisiche? queste pare dipendano anche dalla parametrizzazione, oltre che dalla struttura della varietà... un parallelo di questo nella geometria differenziale?
http://it.wikipedia.org/wiki/Curvatura
c'è scritto un metodo operativo per calcolare la curvatura gaussiana rimanendo sulla superficie!....... è gia qualcosa... perlomeno posso capire se sto sul piano o meno... rimane da capire come posso ricostruire ' tutta la superficie' rimanendo sul piano.... così ad occhio direi che la posso ricostruire in qualche senso 'a meno di isometrie'... voi che ne pensate?
ln ogni caso mi pare buona questa intepretazione di spazio tempo: questa è una varietà reale 4-dimensionale che ammette una parametrizzazione globale data da x,y,z,t, dove i nomi di queste variabili sono totalmente casuali e scelte per motivi che saranno chiari solo in seguito
... la metrica sulla parametrizzazione è fatto in modo che la funzione $\phi$ associata alla parametrizzazione sia una isometria. Passare da un sistema di riferimento ad un altro vuol dire cambiare parametrizzazione (un pò diverso da quanto dicevo prima). Rimane da capire cosa sono le osservabili fisiche? queste pare dipendano anche dalla parametrizzazione, oltre che dalla struttura della varietà... un parallelo di questo nella geometria differenziale?
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