Vettoriali-proiettivi-affini

[riccacasa]

Vorrei sapere le differenze tra i 3 spazi. Grazie amici ma non trovo su nessun testo una spiegazione esaustiva e con qualche esempio chiarificatore. ma poi come si fa ad associare ad uno spazio affine, uno spazio vettoriale o proiettivo, uno SV deve contenere il vetore nullo mentre gli altri non sono obbligati.

[riccacasa]

E perché nello spazio proiettivo, una retta si scrive con un'equazione mentre negli altri spazi si scrive come intersezione di 2 piani?

[Maci86]

Lo spazio vettoriale è la base degli altri due spazi, presenta n-vettori indipendenti e tutti i vettori sono applicati nell'origine. Lo spazio affine è una coppia formata da un insieme di punti e uno spazio vettoriale e in questo si possono descrivere tutti i punti/vettori a partire da un punto dell'insieme dei punti e da n-vettori indipendenti. Uno spazio proiettivo è formato dai sottospazi vettoriali dello spazio affine, in particolare i sottospazi di dimensione 1 sono chiamati punti affini e quelli di dimensione n-1 iperpiani affini. Una retta 3 dimensionale vive in uno spazio proiettivo 4 dimensionale e qui è descritta come sempre con due equazioni di iperpiani.