Vettori riga e vettori colonna
Sto facendo un pò di pratica con i vettori riga e colonna, ma ci sono delle cose che non mi sono chiare:
ESEMPIO 1:
Dati i seguenti vettori $v,w$ e $z$ trovare l'insieme dei vettori ortogonali.
Al di la dei numeri, la risoluzione sta nell'impostare un sistema omogeneo dove il componenti di $v,w$ e $z$ sono in riga.
ESEMPIO 2:
Dati i seguenti vettori $t,v,w$ e $z$ dire se è possibile scrivere $t$ come combinazione lineare di $v,w$ e $z$.
In questo caso studiamo la copatibilità del sistema che ha come vettori colonna $v,w$e $z$.
Io in entrambi i casi avrei messo i vettori in riga e non in colonna, mi sapreste spiegare la differenza?
Grazie a presto;)
ESEMPIO 1:
Dati i seguenti vettori $v,w$ e $z$ trovare l'insieme dei vettori ortogonali.
Al di la dei numeri, la risoluzione sta nell'impostare un sistema omogeneo dove il componenti di $v,w$ e $z$ sono in riga.
ESEMPIO 2:
Dati i seguenti vettori $t,v,w$ e $z$ dire se è possibile scrivere $t$ come combinazione lineare di $v,w$ e $z$.
In questo caso studiamo la copatibilità del sistema che ha come vettori colonna $v,w$e $z$.
Io in entrambi i casi avrei messo i vettori in riga e non in colonna, mi sapreste spiegare la differenza?
Grazie a presto;)
Risposte
Supponiamo $v_i=((a_(1i)),(a_(2i)),(...),(a_(ni)))$, vogliamo sapere se il vettore $v_r$ è combinazione lineare dei vettori $v_1$, $v_2$,...,$v_(r-1)$, cioè se esistono degli scalari $lambda_1$,...,$lambda_(r-1)$ tali che $v_r=sum_(i=1) ^(r-1) lambda_iv_i$. Scrivendo esplicitamente la relazione:
$lambda_1((a_(11)),(a_(21)),(...),(a_(n1)))+lambda_2((a_(12)),(a_(22)),(...),(a_(n2)))+ ... +lambda_(r-1)((a_(1(r-1))),(a_(2(r-1))),(...),(a_(n(r-1))))=((a_(1r)),(a_(2r)),(...),(a_(nr)))$
che è un sistema lineare $n$x$r-1$ nelle incognite $lambda_1$,...,$lambda_(r-1)$.
Questo dovrebbe chiarire il tuo dubbio.
$lambda_1((a_(11)),(a_(21)),(...),(a_(n1)))+lambda_2((a_(12)),(a_(22)),(...),(a_(n2)))+ ... +lambda_(r-1)((a_(1(r-1))),(a_(2(r-1))),(...),(a_(n(r-1))))=((a_(1r)),(a_(2r)),(...),(a_(nr)))$
che è un sistema lineare $n$x$r-1$ nelle incognite $lambda_1$,...,$lambda_(r-1)$.
Questo dovrebbe chiarire il tuo dubbio.
E poi in genere (detto un po' alla buona, tanto per intenderci) si pensa alle colonne come a vettori, e alle righe come co-vettori, o funzionali lineari - oppure - negli spazi vettoriali euclidei, si fa il prodotto riga x colonna come prodotto scalare.
Ma in realtà uno potrebbe pure pensare ai vettori come a delle righe e ai covettori come a delle colonne. Solo che così bisognerebbe poi moltiplicare a sinistra delle matrici e non a destra.
Mi spiego: se hai una app. lineare $phi:V\toW$ sai che puoi associarla ad una matrice $A$ di dim. opportune una volta fissate basi di V e W. Se abbiamo un vettore $v\inV$ le cui coordinate sulla base scelta sono $x=((x_1), (vdots), (x_n))$ allora le coordinate di $phi(v)$ sono $A*x$. Se avessimo pensato $x$ come una riga, avremmo ottenuto lo stesso risultato facendo questa moltiplicazione:
$x*A^T$.
Il che suona strano perché in genere uno scrive prima l'applicazione e poi la variabile ($phi(v)$) e si aspetta di ritrovarsi lo stesso ordine quando passa alle matrici ($A*x$ non $x*A^T$).
Almeno, questo è quello che penso io!
P.S.: Oppure si potrebbe moltiplicare (matrice x riga) definendo il prodotto di matrici anziché come (riga x colonna) che è quello usuale, come (colonna x riga). Solo che così nel calcolo dovresti andare: (dall'alto in basso)(da sinistra a destra). E non so perché ma è molto più naturale andare (da sinistra a destra)(dall'alto in basso).
Ma in realtà uno potrebbe pure pensare ai vettori come a delle righe e ai covettori come a delle colonne. Solo che così bisognerebbe poi moltiplicare a sinistra delle matrici e non a destra.
Mi spiego: se hai una app. lineare $phi:V\toW$ sai che puoi associarla ad una matrice $A$ di dim. opportune una volta fissate basi di V e W. Se abbiamo un vettore $v\inV$ le cui coordinate sulla base scelta sono $x=((x_1), (vdots), (x_n))$ allora le coordinate di $phi(v)$ sono $A*x$. Se avessimo pensato $x$ come una riga, avremmo ottenuto lo stesso risultato facendo questa moltiplicazione:
$x*A^T$.
Il che suona strano perché in genere uno scrive prima l'applicazione e poi la variabile ($phi(v)$) e si aspetta di ritrovarsi lo stesso ordine quando passa alle matrici ($A*x$ non $x*A^T$).
Almeno, questo è quello che penso io!
P.S.: Oppure si potrebbe moltiplicare (matrice x riga) definendo il prodotto di matrici anziché come (riga x colonna) che è quello usuale, come (colonna x riga). Solo che così nel calcolo dovresti andare: (dall'alto in basso)(da sinistra a destra). E non so perché ma è molto più naturale andare (da sinistra a destra)(dall'alto in basso).
Vediamo se ho capito il problema, $Ax$ e $xA$ sono due oggetti distinti, uno è un vettore colonna e l'altro un vettore riga, segue necessariamente per verificare asserto 2 devo mettere le componenti dei vettori in colonna altrimenti avrei un altro oggetto come soluzione. Giusto?
Grazie siete amabili
Grazie siete amabili
Per verificare l'asserto 2 devi fare quello che dice Dorian e risolvere un sistema di equazioni lineari. Quindi, mettendo le componenti dei vettori $v,w,z, t$ in colonna, diciamo $((v_1),(vdots),(v_n)), ((w_1),(vdots),(w_n)), ((z_1),(vdots),(z_n)), ((t_1),(vdots),(t_n))$, devi risolvere $lambda_1, lambda_2, lambda_3$ in $lambda_1((v_1),(vdots),(v_n))+lambda_2((w_1),(vdots),(w_n))+lambda_3((z_1),(vdots),(z_n))=((t_1),(vdots),(t_n))$. Fatti due conti questo è uguale a:
$((v_1, w_1, z_1),( ,vdots, ),(v_n, w_n, z_n))((lambda_1),(lambda_2),(lambda_3))=((t_1),(vdots),(t_n))$.
Questo non significa che le righe siano più brutte delle colonne. Volendo potevi mettere le componenti in riga e fare la stessa cosa. Cioé avresti dovuto risolvere $lambda_1(v_1, ldots, v_n)+lambda_2(w_1, ldots, w_n)+lambda_3(z_1, ldots, z_n)=(t_1, ldots, t_n)$. La differenza è quando lo scrivi in termini di matrici, infatti in questo caso hai:
$(lambda_1, lambda_2, lambda_3)((v_1, ldots, v_n), (w_1, ldots, w_n), (z_1, ldots, z_n))=(t_1, ldots, t_n)$. Cosa è cambiato? Stavolta hai moltiplicato le incognite a sinistra della matrice. Nota anche che la matrice dei termini noti è in questo caso esattamente la trasposta della matrice di prima. Se poi vuoi applicare dei metodi di eliminazione (algoritmo di Gauss, Gauss-Jordan eccetera) attenzione che adesso dovrai operare sulle colonne e non sulle righe.
In conclusione, si può fare in entrambi i modi che sono completamente equivalenti. Però è generalmente più comodo mettere i vettori in colonna. E dal momento che è anche più usato riduce la confusione.
$((v_1, w_1, z_1),( ,vdots, ),(v_n, w_n, z_n))((lambda_1),(lambda_2),(lambda_3))=((t_1),(vdots),(t_n))$.
Questo non significa che le righe siano più brutte delle colonne. Volendo potevi mettere le componenti in riga e fare la stessa cosa. Cioé avresti dovuto risolvere $lambda_1(v_1, ldots, v_n)+lambda_2(w_1, ldots, w_n)+lambda_3(z_1, ldots, z_n)=(t_1, ldots, t_n)$. La differenza è quando lo scrivi in termini di matrici, infatti in questo caso hai:
$(lambda_1, lambda_2, lambda_3)((v_1, ldots, v_n), (w_1, ldots, w_n), (z_1, ldots, z_n))=(t_1, ldots, t_n)$. Cosa è cambiato? Stavolta hai moltiplicato le incognite a sinistra della matrice. Nota anche che la matrice dei termini noti è in questo caso esattamente la trasposta della matrice di prima. Se poi vuoi applicare dei metodi di eliminazione (algoritmo di Gauss, Gauss-Jordan eccetera) attenzione che adesso dovrai operare sulle colonne e non sulle righe.
In conclusione, si può fare in entrambi i modi che sono completamente equivalenti. Però è generalmente più comodo mettere i vettori in colonna. E dal momento che è anche più usato riduce la confusione.
ok grazie, l'importanete è essere cooerenti con la scrittura e con l'operazione prodotto di una matrice.
I vettori conviene considerarli semppre come vettore collona?
$Ax=x^tA=A^tx=x'$ è giusta la relazione?
Il risultato è sempre un vettore colonna?
Potete dare un occhita qui https://www.matematicamente.it/forum/sce ... 32731.html.
Grazie
I vettori conviene considerarli semppre come vettore collona?
$Ax=x^tA=A^tx=x'$ è giusta la relazione?
Il risultato è sempre un vettore colonna?
Potete dare un occhita qui https://www.matematicamente.it/forum/sce ... 32731.html.
Grazie
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