Vettori ortogonali di autospazi diversi
Salve a tutti,
Devo risolvere un esercizio, che ha come consegna:
Sia $ f:R_3rarrR_3 $ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla
base canonica è:
$ A=[ ( 8 , -2 , 2 ),( -2 , 5 , 4 ),( 2 , 4 , 5 ) ] $
Si trovi una base ortogonale di autovettori di $ f $.
risolvendolo trovo i vettori:
$ v_1=(-1/2,-1,1) $ appartenente all'autospazio dell'autovalore 0 (di molteplicità algebrica 1).
$ v_2=(-2,1,0) $ e $ v_3=(2,0,1) $ appartenti all'autospazio dell'autovalore 9 (di molteplicità algebrica 2)
Nella soluzione dell'esercizio è specificato che il vettore $ v_1 $ è ortogonale ai vettori $ v_2 $, $ v_3 $, mentre questi ultimi non lo sono tra di loro perchè appartengono allo stesso autospazio. Perchè questo?
Devo risolvere un esercizio, che ha come consegna:
Sia $ f:R_3rarrR_3 $ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla
base canonica è:
$ A=[ ( 8 , -2 , 2 ),( -2 , 5 , 4 ),( 2 , 4 , 5 ) ] $
Si trovi una base ortogonale di autovettori di $ f $.
risolvendolo trovo i vettori:
$ v_1=(-1/2,-1,1) $ appartenente all'autospazio dell'autovalore 0 (di molteplicità algebrica 1).
$ v_2=(-2,1,0) $ e $ v_3=(2,0,1) $ appartenti all'autospazio dell'autovalore 9 (di molteplicità algebrica 2)
Nella soluzione dell'esercizio è specificato che il vettore $ v_1 $ è ortogonale ai vettori $ v_2 $, $ v_3 $, mentre questi ultimi non lo sono tra di loro perchè appartengono allo stesso autospazio. Perchè questo?
Risposte
che io sapessi valeva solo
infatti da una rapida ricerca in internet ho trovato un esercizio in cui due autovettori relativi allo stesso autovalore sono ortogonali tra loro. esercizio 11.3 di questo file.
Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora:
Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali.
infatti da una rapida ricerca in internet ho trovato un esercizio in cui due autovettori relativi allo stesso autovalore sono ortogonali tra loro. esercizio 11.3 di questo file.
Grazie della risposta!
A questo punto mi viene da pensare che siccome la mia funzione non è un endomorfismo, le proprietà dell'ortogonalità sono differenti. Nel mio caso quindi c'è una spiegazione?
Un'altra cosa, per completezza: perchè "Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora: Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali."?
A questo punto mi viene da pensare che siccome la mia funzione non è un endomorfismo, le proprietà dell'ortogonalità sono differenti. Nel mio caso quindi c'è una spiegazione?
Un'altra cosa, per completezza: perchè "Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora: Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali."?
"maluz":
la mia funzione non è un endomorfismo
ma la tua applicazione È un endomorfismo!
"maluz":
Un'altra cosa, per completezza: perchè "Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora: Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali."?
sono solo le ipotesi e la tesi. sono i casi in cui si verifica.
vero 
ed esiste un teorema o dimostrazione che afferma che " se T..."?
Quindi il mio problema com'è stato risolto nella soluzione?
ed esiste un teorema o dimostrazione che afferma che " se T..."?
Quindi il mio problema com'è stato risolto nella soluzione?
matematicamente is our friend. le dimostrazioni ci sono un po' ovunque, magari anche sul tuo libro.
non hai postato la soluzione ma credo che abbia continuato come in ogni altro esercizio di questo tipo. dopo aver notato che non sono tra loro ortogonali li rendi ortogonali con l'algoritmo di Gram-Schmidt.
"maluz":
Quindi il mio problema com'è stato risolto nella soluzione?
non hai postato la soluzione ma credo che abbia continuato come in ogni altro esercizio di questo tipo. dopo aver notato che non sono tra loro ortogonali li rendi ortogonali con l'algoritmo di Gram-Schmidt.
La soluzione di fatto l'ho capita, non ho capito quel passaggio. Cioè perchè deve rendere ortogonali due vettori dello stesso autospazio (quando secondo il teorema di prima lo sarebbero già) mentre due vettori di autospazi diversi sono automaticamente ortogonali.
eh no. il teorema o proposizione che dir si voglia ti dice che due vettori relativi ad autovalori distinti sono automaticamente ortogonali. quelli che sono relativi allo stesso autovalore possono o non possono esserlo, bisogna verificarlo di volta in volta.
ps: per capire se due vettori sono ortogonali fai a meno di sfruttare qualche teorema. verificalo "manualmente" e sei sicuro di non sbagliare!
ps: per capire se due vettori sono ortogonali fai a meno di sfruttare qualche teorema. verificalo "manualmente" e sei sicuro di non sbagliare!
Ottimo consiglio! grazie di tutto
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