Vettori ortogonali
considerando una matrice $C$ di dimensione N x N e due vettori N x 1 $x$ ed $y$
la condizione $x'Cy = 0$
è vera solo se i due vettori sono ortogonali ? ovvero $x'y = 0$
oppure no ? La matrice $C$ deve rispettare qualche condizione o è libera in tal senso ?
la condizione $x'Cy = 0$
è vera solo se i due vettori sono ortogonali ? ovvero $x'y = 0$
oppure no ? La matrice $C$ deve rispettare qualche condizione o è libera in tal senso ?
Risposte
può darsi.....comunque vai a rivedere un pò di teoria per essere più certo.....
Ciao salfor76
ho cercato un poco nel materiale che ho ed anche online e non ho trovato puntuale risposta alla domanda.
Comunque ho provato a fare qualche conto e, al contrario di quanto presupponevo, anche se i vettori sono ortogonali, quindi $x'y=0$, in generale vedo che $x'Cy!=$, e nei casi in cui $x'Cy=0$ in generale si ha $x'y!=0$
ho cercato un poco nel materiale che ho ed anche online e non ho trovato puntuale risposta alla domanda.
Comunque ho provato a fare qualche conto e, al contrario di quanto presupponevo, anche se i vettori sono ortogonali, quindi $x'y=0$, in generale vedo che $x'Cy!=$, e nei casi in cui $x'Cy=0$ in generale si ha $x'y!=0$
"markowitz":
Ciao salfor76
ho cercato un poco nel materiale che ho ed anche online e non ho trovato puntuale risposta alla domanda.
Comunque ho provato a fare qualche conto e, al contrario di quanto presupponevo, anche se i vettori sono ortogonali, quindi $x'y=0$, in generale vedo che $x'Cy!=$, e nei casi in cui $x'Cy=0$ in generale si ha $x'y!=0$
Non stai considerando il fatto che, in generale, $Cy$ $!=$ $\lambday$. Cioè, non ha la stessa direzione di $y$. Ciò risulta vero soltanto se $y$ è un autovettore di $C$. In questo caso, $Cy$ $=$ $\lambday$ e, quindi, se $x.y$ $=$ $0$, sarà tale anche il prodotto scalare $x.\lambday$ per qualche $\lambda$ $in$ $R$. Ma solo in questo caso. Altrimenti, il problema risulta del tutto mal posto. Come ti sei potuto rendere conto dalle verifiche che hai effettuato.
In generale - se così si può dire - l' "effetto" della moltiplicazione tra un vettore e una matrice è "tutt'altro" che lasciare invariata la direzione del vettore - oltre alla "variazione" degli aspetti "metrici" -.
Rimane invariata soltanto la direzione degli autovettori "specifici" di una data matrice.
"ROMA91":
In generale - se così si può dire - l' "effetto" della moltiplicazione tra un vettore e una matrice è "tutt'altro" che lasciare invariata la direzione del vettore - oltre alla "variazione" degli aspetti "metrici" -.
Rimane invariata soltanto la direzione degli autovettori "specifici" di una data matrice.
concordo....variando le componenti del vettore (a seguito del prodotto con la matrice)
varierà il suo modulo, direzione e verso.
non so cosa intendi però con aspetti "metrici"....?
Mi scuso. Forse, non ho utilizzato i termini più adatti.
Ma volevo solo fornire una "dritta" di carattere intuitivo
e far capire chiaramente che, in generale, nel prodotto
di un vettore per una matrice modulo e direzione non
sono conservati e la risposta alla conservazione della
direzione si trova nella teoria degli autovettori di una
matrice.
Ma volevo solo fornire una "dritta" di carattere intuitivo
e far capire chiaramente che, in generale, nel prodotto
di un vettore per una matrice modulo e direzione non
sono conservati e la risposta alla conservazione della
direzione si trova nella teoria degli autovettori di una
matrice.
Credo di aver capito.
Grazie.
Grazie.
Direi che bisogna fare un po' di chiarezza, perché ho visto varie cose improprie dette in questa discussione.
Il problema in questione non è mal posto, per nessuna scelta di \(\displaystyle \mathbf{x} \), \(\displaystyle \mathbf{y} \) e \(\displaystyle C \). D'altra parte, l'ipotesi di markovitz è falsa per quasi ogni scelta di matrice \(\displaystyle C \).
Una risposta corretta è che \(\displaystyle \vphantom{x}^t\mathbf{x} C\mathbf{y} = 0 \) se e solo se \(\displaystyle \mathbf{y}\in\ker C \), \(\displaystyle \mathbf{x}\in \ker \vphantom{C}^t\mathbf{C} \) oppure se \(\displaystyle \mathbf{x} \perp C\mathbf{y} \). Ma immagino non sia la risposta che stavi cercando.
La tua risposta è vera se e solo se esiste una trasformazione ortogonale\(\displaystyle S \) tale che \(\displaystyle \vphantom{x}^t\mathbf{x} \mathbf{y} = \vphantom{S}^t(S\mathbf{x}) S\mathbf{y} = \vphantom{x}^t\mathbf{x} C\mathbf{y} = 0 \) ovvero se \(\displaystyle C = \vphantom{S}^t\!SS = I \). Insomma \(\displaystyle C \) è l'identità.
EDIT: ho finito per aggiungere una cosa errata anche io. Ho corretto.
P.S.: Ho ovviamente messo il segno di trasposto prima dell'elemento che viene trasposto.
Il problema in questione non è mal posto, per nessuna scelta di \(\displaystyle \mathbf{x} \), \(\displaystyle \mathbf{y} \) e \(\displaystyle C \). D'altra parte, l'ipotesi di markovitz è falsa per quasi ogni scelta di matrice \(\displaystyle C \).
Una risposta corretta è che \(\displaystyle \vphantom{x}^t\mathbf{x} C\mathbf{y} = 0 \) se e solo se \(\displaystyle \mathbf{y}\in\ker C \), \(\displaystyle \mathbf{x}\in \ker \vphantom{C}^t\mathbf{C} \) oppure se \(\displaystyle \mathbf{x} \perp C\mathbf{y} \). Ma immagino non sia la risposta che stavi cercando.
La tua risposta è vera se e solo se esiste una trasformazione ortogonale\(\displaystyle S \) tale che \(\displaystyle \vphantom{x}^t\mathbf{x} \mathbf{y} = \vphantom{S}^t(S\mathbf{x}) S\mathbf{y} = \vphantom{x}^t\mathbf{x} C\mathbf{y} = 0 \) ovvero se \(\displaystyle C = \vphantom{S}^t\!SS = I \). Insomma \(\displaystyle C \) è l'identità.
EDIT: ho finito per aggiungere una cosa errata anche io. Ho corretto.
P.S.: Ho ovviamente messo il segno di trasposto prima dell'elemento che viene trasposto.
grazie per le risposta
Provo a ricapitolare
Sapemdo che vale $x'y=0$ allora, in generale, $x'Cy=0$ solo se $C=I$
più in particolare se $y$ è anche un autovettore di $C$, o $x$ un autovettore di $C'$, allora vale $x'Cy=0$ per qualunque $C$.
(solo in questi casi infatti è valida l'ortogonalità di $x$ rispetto a $Cy$ o di $x'C$ rispetto a $y$.
corretto ?
@ vict85
cosa significa "ker" ? Riguarda proprio gli autovettori ?
Provo a ricapitolare
Sapemdo che vale $x'y=0$ allora, in generale, $x'Cy=0$ solo se $C=I$
più in particolare se $y$ è anche un autovettore di $C$, o $x$ un autovettore di $C'$, allora vale $x'Cy=0$ per qualunque $C$.
(solo in questi casi infatti è valida l'ortogonalità di $x$ rispetto a $Cy$ o di $x'C$ rispetto a $y$.
corretto ?
@ vict85
cosa significa "ker" ? Riguarda proprio gli autovettori ?
"markowitz":
grazie per le risposta
Provo a ricapitolare
Sapendo che vale $x'y=0$ allora, in generale, $x'Cy=0$ solo se $C=I$
più in particolare, se $y$ è anche un autovettore di $C$, o $x$ un autovettore di $C'$, allora vale $x'Cy=0$ per qualunque $C$.
(solo in questi casi infatti è valida l'ortogonalità di $x$ rispetto a $Cy$ o di $x'C$ rispetto a $y$.
corretto ?
@ vict85
cosa significa "ker" ? Riguarda proprio gli autovettori ?
$ker$ indica il nucleo dell'applicazione.
"più in particolare, se $y$ è anche un autovettore di $C$ o $x$ un autovettore di $C'$, allora vale $x'Cy=0$ per qualunque $C$?"
Se $y$ è un autovettore di $C$, allora $Cy = \lambday$. Quindi, affinché il prodotto scalare risulti nullo occorre che $y$ sia uno degli autovettori di $C$ e in più - proprietà che, ovviamente, non c'entra direttamente con l'essere autovettore di $C$ - risulti anche ortogonale a $x$.
"Per qualunque $C$?"
Questa conclusione non sembra appropriata. Data una matrice $C$, sotto date condizioni, si possono individuare gli autovettori relativi ad essa, cioè i vettori $y$ tali per cui $Cy = \lambday$ per certi $\lambda in R$, che sono gli autovalori.
Non per qualunque $C$.
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