Vettori nel piano cartesiano
Dunque, com'è noto la giacitura di un vettore è la retta su cui esso (appunto) giace. Ma questa retta deve necessariamente passare per l'origine O ? Lo chiedo perché spesso le componenti individuano il vettore in questo modo ((vx, vy), (0,0)), ma su alcuni testi o siti vengono rappresentati vettori che non partono dall'origine.
Risposte
Penso che ‘giacitura di un vettore’ non abbia alcun significato.
La giacitura è lo spazio vettoriale associato ad un insieme di punti(con cui forma uno spazio affine)
Inoltre parlare di origine è impegnativo perché prevede che sia fissato un sistema di riferimento
Se ti interessa possiamo approfondire l’argomento, ma ti consiglio di buttare il libro che ti da tutti questi dubbi(dipendenza lineare, basi, ecc..)
La giacitura è lo spazio vettoriale associato ad un insieme di punti(con cui forma uno spazio affine)
Inoltre parlare di origine è impegnativo perché prevede che sia fissato un sistema di riferimento
Se ti interessa possiamo approfondire l’argomento, ma ti consiglio di buttare il libro che ti da tutti questi dubbi(dipendenza lineare, basi, ecc..)
"anto_zoolander":
Penso che ‘giacitura di un vettore’ non abbia alcun significato.
La giacitura è lo spazio vettoriale associato ad un insieme di punti(con cui forma uno spazio affine)
Inoltre parlare di origine è impegnativo perché prevede che sia fissato un sistema di riferimento
Se ti interessa possiamo approfondire l’argomento, ma ti consiglio di buttare il libro che ti da tutti questi dubbi(dipendenza lineare, basi, ecc..)
Fosse solo uno, mi riferisco a numerosissime "fonti".
Comunque preso dalla fretta ho sbagliato totalmente termine, volevo scrivere "direzione", ma possiamo comunque approfondire questo argomento.
Questa cosa però cambia totalmente il senso della domanda.
La direzione di un vettore è $v$ è sostanzialmente $<>$. In generale la direzione di $v_1,...,v_n$ vettori è lo spazio da essi generato, sebbene sia un po' una visione controintuitiva.
Devi liberarti dal concetto di "vettore nullo=origine", è una frase che porta con sé tanta ambiguità.
Il vettore nullo è un vettore, stop. Per parlare di origine, ripeto, devi introdurre un sistema di riferimento(e magari una struttura di spazio affine).
La direzione di un vettore è $v$ è sostanzialmente $<
Devi liberarti dal concetto di "vettore nullo=origine", è una frase che porta con sé tanta ambiguità.
Il vettore nullo è un vettore, stop. Per parlare di origine, ripeto, devi introdurre un sistema di riferimento(e magari una struttura di spazio affine).
"anto_zoolander":
Questa cosa però cambia totalmente il senso della domanda.
La direzione di un vettore è $v$ è sostanzialmente $<>$. In generale la direzione di $v_1,...,v_n$ vettori è lo spazio da essi generato, sebbene sia un po' una visione controintuitiva.
Devi liberarti dal concetto di "vettore nullo=origine", è una frase che porta con sé tanta ambiguità.
Il vettore nullo è un vettore, stop. Per parlare di origine, ripeto, devi introdurre un sistema di riferimento(e magari una struttura di spazio affine).
Parliamo dei vettori di R2 nel piano cartesiano allora... individuate le componenti, tutti i vettori partono dal punto O?
E chi è $O$? Il punto $(0,0)$? L’origine può essere anche $O=(e,pi)$ e le sue coordinate sono sempre $(0,0)$
"anto_zoolander":
E chi è $O$? Il punto $(0,0)$? L’origine può essere anche $O=(e,pi)$ e le sue coordinate sono sempre $(0,0)$
Proviamo ad ampliare il discorso... come vanno rappresentati i vettori nel piano (R2) e nello spazio (R3) ?
Mi intrometto solo per un attimo:
v
La tua idea intuitiva di "vettore" (a.k.a. "freccia") è più vicina al discorso fatto dall'utente @anto_zoolander sulle strutture chiamate spazi affini, dove ha senso parlare di un sistema di riferimento, ecc... Ora stai trattando gli spazi vettoriali. Ho spesso pensato alle basi come a dei "sistemi di riferimento astratti", tenendo però bene a mente che il vettore identità per l'addizione (\( O \)) non appartiene a merito ad alcuna di esse.
"Daken97":
su alcuni testi o siti vengono rappresentati vettori che non partono dall'origine.
"Daken97":
come vanno rappresentati i vettori nel piano (R2) e nello spazio (R3) ?
"Daken97":|
tutti i vettori partono dal punto O?
v
"Mac Lane, Birkhoff":e quindi
Initially, a vector in three-space was given in terms of its components relative to a given system of axes, so a vector was described as a triple of numbers. Emphasis on the operation of vector addition and multiplication of a vector by a real number (a scalar) showed that the vectors could be better treated, independently of any choice of axes, as the elements of a real “vector space“ in which these operations are defined and are required to satisfy suitable axioms.
"anto_zoolander":dove ti ricordo - a scanso di equivoci - che \( \langle v\rangle \) è l'insieme dei vettori \( \alpha v \), dove il coefficiente \( \alpha \) appartiene al tuo campo (fai \( \mathbb{R} \)).
La direzione di un vettore [strike]è[/strike] \( v \) è sostanzialmente \( \langle v\rangle \).
La tua idea intuitiva di "vettore" (a.k.a. "freccia") è più vicina al discorso fatto dall'utente @anto_zoolander sulle strutture chiamate spazi affini, dove ha senso parlare di un sistema di riferimento, ecc... Ora stai trattando gli spazi vettoriali. Ho spesso pensato alle basi come a dei "sistemi di riferimento astratti", tenendo però bene a mente che il vettore identità per l'addizione (\( O \)) non appartiene a merito ad alcuna di esse.
Io questa roba l'ho studiata a suo tempo così (sul libro di Geometria di Marco Abate):
Abbiamo (ancora prima di introdurre coordinate e definizione di spazio vettoriale) i Vettori Geometrici che possono essere applicati o liberi.
Nel piano euclideo usuale un vettore applicato in un punto $O $ è definito come un segmento orientato con primo estremo il punto $O$ e secondo estremo un altro punto $A$. Il punto $O$ viene chiamato origine dell'insieme dei vettori applicati in $O$.
Però non c'entra niente con il punto di coordinate $(0, 0)$, visto che non ci sono coordinate.
I vettori applicati quindi sono raffigurati dalle freccette che partono dall'origine $O$.
(che non c'entra con l'origine degli assi cartesiani, poiché non ci sono coordinate, nelle figure non ci sono gli assi, ci sono solo i vettori-freccette che partono da un punto $O$).
Poi si possono definire i vettori liberi: se si prendono due vettori applicati in due punti diversi del piano ma paralleli, congruenti e con lo stesso verso, hanno chiaramente qualcosa in comune, sono in un certo senso lo stesso vettore, a parte il fatto di essere applicati in punti distinti.
Più formalemente un vettore libero viene definito come una classe di equivalenza sull'insieme dei vettori applicati del piano, qualunque sia la loro origine (in base a una realzione di equivalenza da precisare, cioè se sono paralleli congruenti e con lo stesso verso). Un vettore applicato in $O$ è un rappresentante della classe di equivalenza.
Quindi, è possibile rappresentare i vettori geometrici anche con freccette che non partono dall'origine $O$, come si vede ad esempio nei libri di fisica, tenendo presente che sono equivalenti al vettore applicato in $O$.
Anche a me all'inizio sconcertava vedere i vettori disegnati da tutte le parti invece che a partire dall'origine $O$, ma poi così la questione mi è sembrata chiarita.
Tutto ciò non c'entra con le coordinate, che vengono introdotte dopo, e con $R^2$ come spazio vettoriale costituito dalle coppie di numeri reali.
Poi esiste, ovviamente, una volta data la definizione di spazio vettoriale, un ismorfismo tra coppie di numeri reali e vettori geometrici.
Abbiamo (ancora prima di introdurre coordinate e definizione di spazio vettoriale) i Vettori Geometrici che possono essere applicati o liberi.
Nel piano euclideo usuale un vettore applicato in un punto $O $ è definito come un segmento orientato con primo estremo il punto $O$ e secondo estremo un altro punto $A$. Il punto $O$ viene chiamato origine dell'insieme dei vettori applicati in $O$.
Però non c'entra niente con il punto di coordinate $(0, 0)$, visto che non ci sono coordinate.
I vettori applicati quindi sono raffigurati dalle freccette che partono dall'origine $O$.
(che non c'entra con l'origine degli assi cartesiani, poiché non ci sono coordinate, nelle figure non ci sono gli assi, ci sono solo i vettori-freccette che partono da un punto $O$).
Poi si possono definire i vettori liberi: se si prendono due vettori applicati in due punti diversi del piano ma paralleli, congruenti e con lo stesso verso, hanno chiaramente qualcosa in comune, sono in un certo senso lo stesso vettore, a parte il fatto di essere applicati in punti distinti.
Più formalemente un vettore libero viene definito come una classe di equivalenza sull'insieme dei vettori applicati del piano, qualunque sia la loro origine (in base a una realzione di equivalenza da precisare, cioè se sono paralleli congruenti e con lo stesso verso). Un vettore applicato in $O$ è un rappresentante della classe di equivalenza.
Quindi, è possibile rappresentare i vettori geometrici anche con freccette che non partono dall'origine $O$, come si vede ad esempio nei libri di fisica, tenendo presente che sono equivalenti al vettore applicato in $O$.
Anche a me all'inizio sconcertava vedere i vettori disegnati da tutte le parti invece che a partire dall'origine $O$, ma poi così la questione mi è sembrata chiarita.
Tutto ciò non c'entra con le coordinate, che vengono introdotte dopo, e con $R^2$ come spazio vettoriale costituito dalle coppie di numeri reali.
Poi esiste, ovviamente, una volta data la definizione di spazio vettoriale, un ismorfismo tra coppie di numeri reali e vettori geometrici.
Non ho letto nel dettaglio la discussione, ma, senza andare tanto distante, consiglio di leggere il "Candilera,Bertapelle - Algebra Lineare con elementi di geometria", capitolo 1: "Vettori e geometria, una lunga introduzione", e subito dopo leggersi l'inizio del capitolo 5 dove vengono trattati gli spazi affini e euclidei. I dubbi dell'OP troveranno sicuramente risposta.
Oppure sull'Abate, come ha fatto notare gabriella.
Oppure sull'Abate, come ha fatto notare gabriella.
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