Vettori linermente indipendenti
Ho il seguente problema:
sia $V{f\ :\ f\ RR_+ -> RR}$, $RR$; spazio vettoriale su $RR$ delle funzioni reali per $t>0$.
Mi si chiede di dimostrare che le funzioni ${t\ ,\ 1/t}$ sono linearmente indipendenti.
Dovrei dunque dimostrare che $forall\ t>0\ ;\ (a,b) in RR^2\ ;\ at+b/t=0\ rArr \ (a,b)=(0,0)$, che però non è vero.
Lo stesso accade con le funzioni ${e^t\ ,\ "log" t}$
sia $V{f\ :\ f\ RR_+ -> RR}$, $RR$; spazio vettoriale su $RR$ delle funzioni reali per $t>0$.
Mi si chiede di dimostrare che le funzioni ${t\ ,\ 1/t}$ sono linearmente indipendenti.
Dovrei dunque dimostrare che $forall\ t>0\ ;\ (a,b) in RR^2\ ;\ at+b/t=0\ rArr \ (a,b)=(0,0)$, che però non è vero.
Lo stesso accade con le funzioni ${e^t\ ,\ "log" t}$
Risposte
Scusa come non è vero?
Tieni presente che lo zero che hai a secondo membro in [tex]$a\ t+ \frac{b}{t} =0$[/tex] non è il numero [tex]$0$[/tex], bensì la funzione identicamente nulla.
In altre parole, devi determinare [tex]$a,b$[/tex] in modo che la funzione [tex]$a\ t+ \frac{b}{t}$[/tex] sia nulla per tutti i [tex]$t\in ]0,+\infty[$[/tex]...
Tieni presente che lo zero che hai a secondo membro in [tex]$a\ t+ \frac{b}{t} =0$[/tex] non è il numero [tex]$0$[/tex], bensì la funzione identicamente nulla.
In altre parole, devi determinare [tex]$a,b$[/tex] in modo che la funzione [tex]$a\ t+ \frac{b}{t}$[/tex] sia nulla per tutti i [tex]$t\in ]0,+\infty[$[/tex]...
Ecco dove sbagliavo;
io prendevo un particolare $a$ $b$ $t$ che mi ritornasse lo $0$.
Si è una questione di come uno visiona quel $forall$.
Vediamo un attimo così mi dici se sbaglio.
Prendiamo $f$ e $g$:
Queste sono linearmente dipendenti se $EE\ (a,b)in RR^2\\{0}\ :\ af(t)+bg(t)=0\ \ forall t>0$
Sono invece indipendenti se $forall (a,b)in RR^2\\{0}\ \ EE\ t>0 \ :\ af(t)+bg(t)!=0$.
Correggimi se sbaglio.
Grazie comunque della celere risposta.
io prendevo un particolare $a$ $b$ $t$ che mi ritornasse lo $0$.
Si è una questione di come uno visiona quel $forall$.
Vediamo un attimo così mi dici se sbaglio.
Prendiamo $f$ e $g$:
Queste sono linearmente dipendenti se $EE\ (a,b)in RR^2\\{0}\ :\ af(t)+bg(t)=0\ \ forall t>0$
Sono invece indipendenti se $forall (a,b)in RR^2\\{0}\ \ EE\ t>0 \ :\ af(t)+bg(t)!=0$.
Correggimi se sbaglio.
Grazie comunque della celere risposta.
"DajeForte":
Queste sono linearmente dipendenti se $EE\ (a,b)in RR^2\\{0}\ :\ af(t)+bg(t)=0\ \ forall t>0$
Sono invece indipendenti se $forall (a,b)in RR^2\\{0}\ \ EE\ t>0 \ :\ af(t)+bg(t)!=0$.
Credo che per la dipendenza lineare sia sufficiente che una sola tra $a$ e $b$ sia diversa da zero.