Vettori linermente indipendenti

DajeForte
Ho il seguente problema:

sia $V{f\ :\ f\ RR_+ -> RR}$, $RR$; spazio vettoriale su $RR$ delle funzioni reali per $t>0$.

Mi si chiede di dimostrare che le funzioni ${t\ ,\ 1/t}$ sono linearmente indipendenti.

Dovrei dunque dimostrare che $forall\ t>0\ ;\ (a,b) in RR^2\ ;\ at+b/t=0\ rArr \ (a,b)=(0,0)$, che però non è vero.

Lo stesso accade con le funzioni ${e^t\ ,\ "log" t}$

Risposte
gugo82
Scusa come non è vero?

Tieni presente che lo zero che hai a secondo membro in [tex]$a\ t+ \frac{b}{t} =0$[/tex] non è il numero [tex]$0$[/tex], bensì la funzione identicamente nulla.
In altre parole, devi determinare [tex]$a,b$[/tex] in modo che la funzione [tex]$a\ t+ \frac{b}{t}$[/tex] sia nulla per tutti i [tex]$t\in ]0,+\infty[$[/tex]...

DajeForte
Ecco dove sbagliavo;

io prendevo un particolare $a$ $b$ $t$ che mi ritornasse lo $0$.

Si è una questione di come uno visiona quel $forall$.

Vediamo un attimo così mi dici se sbaglio.

Prendiamo $f$ e $g$:

Queste sono linearmente dipendenti se $EE\ (a,b)in RR^2\\{0}\ :\ af(t)+bg(t)=0\ \ forall t>0$
Sono invece indipendenti se $forall (a,b)in RR^2\\{0}\ \ EE\ t>0 \ :\ af(t)+bg(t)!=0$.

Correggimi se sbaglio.
Grazie comunque della celere risposta.

poncelet
"DajeForte":
Queste sono linearmente dipendenti se $EE\ (a,b)in RR^2\\{0}\ :\ af(t)+bg(t)=0\ \ forall t>0$
Sono invece indipendenti se $forall (a,b)in RR^2\\{0}\ \ EE\ t>0 \ :\ af(t)+bg(t)!=0$.


Credo che per la dipendenza lineare sia sufficiente che una sola tra $a$ e $b$ sia diversa da zero.

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