Vettori linearmente indipendenti

[herrdoktor]

Ciao ho un dubbio sull'indipendeza lineare.
Allora se abbiamo
$W_a = <(0,-2,2),(1,0,-1),(1,-1,0)>$
$W_b = <(0,1,1),(-2,0,-1),(2,-1,0)>$
Allora $<(0,-2,2),(1,0,-1)>$ è base di $W_a$ perchè lo genera e perchè i due vettori sono lin. ind.

Si può trovare una base di $W_b$?
Se prendiamo $w_1=(0,-2,2)$ e $w_2=(1,0,-1)$ essi sono lin. ind. se e solo se $0=a_1w_1+a_2w_2$ se e solo se $0=a_1(0,1,1)+a_2(-2,0,-1)$ $=>$ $0=a_1,a_1,-2a_2,-a_2$
Sono lin. ind. se solo se $a_1 = a_2 = 0$? O c'è qualcosa che mi sfugge?

[_prime_number]

Allora... Per verificare se i vettori che possiedi sono linearmente indipendenti, basta costruire la matrice (per esempio uso i vettori di $W_a$)


0 -2 2
1 0 -1
1 -1 0

E calcolarne il determinante. Se il determinante è nullo, si deduce che ogni riga è combinazione lineare delle rimanenti 2. Se il rango della matrice è 1, i vettori sono a 2 a 2lin. dipendenti. Se il rango è 2, ognuno è combinazione lineare degli altri 2. Se il rango è 3, i vettori sono linearmente indipendenti.

Considera poi la definizione di base, un sottoinsieme di V di vettori linearmente indipendenti che genera V.

Paola

[herrdoktor]

Grazie Paola!
Quindi se ho
$W_b = <(0,1,1),(-2,0,-1),(2,-1,0)>$
Abbiamo questa matrice con le terne di $W_b$
$((0,1,1),(-2,0,-1),(2,-1,0))$ il rango è...?
Quindi una base di $W_b$ è...?

Grazie