Vettori linearmente indipendenti

[Elia19991]

Salve ragazzi, non riesco a fare il seguente esercizio :

Siano u,v e w tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V. Verificare se i vettori u-v, v-w e u+w sono linearmente indipendenti.

Ho provato prendere tre vettori generici di R^3 ma non ottengo nullo. Non so dove mettere mano.

[axpgn]

Affinché i tre vettori $u-v$, $v-w$ e $u+w$ siano linearmente indipendenti questa relazione lineare $alpha[u-v]+beta[v-w]+gamma[u+w]=0$ deve essere vera solo quando $alpha=beta=gamma=0$.

Dimostrazione:

$alpha[u-v]+beta[v-w]+gamma[u+w]=0$

$alphau-alphav+betav-betaw+gammau+gammaw=0$

$u(alpha+gamma)+v(beta-alpha)+w(gamma-beta)=0$

Ora, dato che $u, v, w$ sono linearmente indipendenti, quest'ultima relazione è vera solo quando ${(alpha+gamma=0),(beta-alpha=0),(gamma-beta=0):}$

La soluzione di questo sistema è $alpha=0, beta=0, gamma=0$

CVD

Cordialmente, Alex

[anto_zoolander]

@alex
[ot]che siamo fatti professional [/ot]

[Bokonon]

Una soluzione giocosa!
Siano C, la matrice con colonne u-v, v-w e u+w, A la matrice con colonne i vettori u, v e w e infine $ B=( ( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
la matrice che trasforma A in C, ovvero $C=AB$
Quindi $det(C)=det(AB)=det(A)det(B)=2*det(A)!=0$

[axpgn]

@anto_zoolander
[ot]Conosco due cose di Algebra Lineare, fammele scrivere bene [/ot]

Cordialmente, Alex