Vettori linearmente indipendenti

[KatieP]

Ciao a tutti, devo verificare che i tre vettori (1,0) , (0 -1), (1, 1) siano linearmente indipendenti. Ho provato ad inserirli in una matrice che abbia per righe le tre coppie e ho calcolato il rango, che è 2. Il problema è che mi sono accorta che ogni volta nel calcolo del rango, dovrò escludere uno dei vettori, cosìcchè studio la dipendenza lineare delle coppie a due a due. Quindi mi chiedo: devo verificare per ogni possibile coppia di vettori che il determinante non faccia 0 e quindi il rango sia 2? Una volta per i vettori (1,0) e (0,1); un'altra per (0,-1), (1,1) e un'altra per (1,0) con (1,1)?
Grazie mille in anticipo

[donald_zeka]

Rifletti un po', possono tre vettori in $RR^2$ essere linearmente indipendenti?

[KatieP]

Non ho gli strumenti per rispondere a questa domanda, ho ricevuto solo dei cenni di algebra lineare. Potresti essere più chiaro?

[KatieP]

In generale a me interesserebbe sapere se quando ho mettendo insieme i vettori ho una matrice rettangolare, devo analizzare la dipendenza lineare dei vettori in ogni loro combinazione possibile. Ad esempio in una matrice 4x3, il minore è 3. Nell'individuarlo escluderei sempre una riga o una colonna! Quindi il vettore corrispondente a tale riga o colonna verrebbe tralasciato

[donald_zeka]

Allora, partiamo dalla mia domanda: possono 3 vettori in RR^2 essere indipendenti? La domanda è più semplice di quanto si pensi. Suppongo che tu sappia cosa significa $RR^2$, e più in generale $RR^n$, RR^2 è lo spazio dei vettori del tipo (a,b), ossia formati da $2$ reali $(a,b) in RR$, così come RR^n è lo spazio dei vettori formati da $n$ elementi appartenenti a $RR$. Detto ciò sai che ogni base di $RR^2$ è formata da $2$ vettori indipendenti, così come ogni base di RR^n è formata da $n$ vettori indipendenti. Quindi se una base di RR^2 ha 2 vettori indipendenti, significa che QUALSIASI altro vettore di $RR^2$ si può scrivere come combinazione lineare di quei $2$ vettori della base, quindi, dati $3$ vettori qualsiasi in $RR^2$, è IMPOSSIBILE che essi siano indipendenti. Più in generale dati $k$ vettori in $RR^n$, con $k>n$, quei $k$ vettori NON POSSONO MAI essere indipendenti. E questo è sufficiente a rispondere alla tua domanda.

In generale a me interesserebbe sapere se quando ho mettendo insieme i vettori ho una matrice rettangolare, devo analizzare la dipendenza lineare dei vettori in ogni loro combinazione possibile. Ad esempio in una matrice 4x3, il minore è 3. Nell'individuarlo escluderei sempre una riga o una colonna! Quindi il vettore corrispondente a tale riga o colonna verrebbe tralasciato

Allora, un teorema dice: "Sono dati i vettori $(v_1,v_2,...v_k) in RR^n$ e sia $V$ la matrice che si ottiene disponendo tali vettori in colonna (o in riga, è lo stesso). I vettori sono indipendenti se e solo se la matrice $V$ ha rango $k$, ossia nella matrice $V$ esiste un minore non nullo di ordine $k$". Questo teorema non fa altro che dire quello che ho detto prima, infatti se k>n è impossibile che la matrice abbia rango $k$.

Pertanto ogni volta che ti chiedono di verificare per esempio che i vettori $(1,2,5);(2,3,7);(4,5,7);(3,2,1)$ sono indipendenti, tu devi dire subito che non lo sono perché sono $4$ vettori in $RR^3$, senza scomodare le matrici.

Poniamo allora che ti chiedano di verificare che i vettori $(1,2,5);(2,3,7)$ sono indipendenti. Allora devi mettere tali vettori in una matrice (come riga o colonna) e applicare quel teorema: quindi verificare se esiste un minore non nullo di ordine $2$.

[KatieP]

Non so come ringraziarti, sei stato chiarissimo!