Vettori linearmente indipendenti
Salve a tutti! Sono incappato in un esercizio di cui non ho ben compreso la procedura
Dati 3 vettori in M3,2
$ v1= ( (1,2), (3,1), (0,0) ) $
$ v2 = ( (0,1) , (3,1) , (2,0 ) ) $
$ v3 = ( (0,0) , (0,1) , (2,0) ) $
Sono linearmente indipendenti?
Se faccio a $ ( (1,2), (3,1), (0,0) ) $ +b $ ( (0,1) , (3,1) , (2,0 ) ) $ + c $ ( (0,0) , (0,1) , (2,0) ) $ = $ ( (0,0), (0,0), (0,0) ) $
Trovo che a=b=c=0 quindi sono linearmente indipendenti.
la nota dolente arriva se mi chiedesse (in questo esercizio non me lo chiede) di completare la base in M3,2.
Posso scrivere per esempio $ v1 $ in forma "rettilinea" in qualche modo???
Grazie per l'aiuto!
Dati 3 vettori in M3,2
$ v1= ( (1,2), (3,1), (0,0) ) $
$ v2 = ( (0,1) , (3,1) , (2,0 ) ) $
$ v3 = ( (0,0) , (0,1) , (2,0) ) $
Sono linearmente indipendenti?
Se faccio a $ ( (1,2), (3,1), (0,0) ) $ +b $ ( (0,1) , (3,1) , (2,0 ) ) $ + c $ ( (0,0) , (0,1) , (2,0) ) $ = $ ( (0,0), (0,0), (0,0) ) $
Trovo che a=b=c=0 quindi sono linearmente indipendenti.
la nota dolente arriva se mi chiedesse (in questo esercizio non me lo chiede) di completare la base in M3,2.
Posso scrivere per esempio $ v1 $ in forma "rettilinea" in qualche modo???
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Esistono (vari) isomorfismi di quello spazio vettoriale con \(\mathbb{R}^6\). A seconda di quello che ti sembra più logico usa la lettura per righe o per colonne. Ovvero \(f(v_1) = (1,3,0,2,1,0)\) oppure \(g(v_1) = (1,2,3,1,0,0)\). Trovi se sono linearmente indipendenti nell'immagine e lo usi per dimostrarlo nel dominio.
Ovviamente a livello di esame devi motivare il passaggio. Ma quello che ho detto io immagino sia sufficiente. Che siano due isomorfismi è banale.
Comunque puoi vedere che sono indipendenti abbastanza “a occhio”.
\(\displaystyle \alpha\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & 2\alpha + \beta \\ 3(\alpha + \beta) & \alpha + \beta + \gamma \\ 2(\beta + \gamma) & 0 \end{pmatrix} \)
Da quello si vede che si deve avere \(\displaystyle \alpha = 0 \), \(\displaystyle \beta = 0 + \beta = \alpha + \beta = 0 \) e \(\displaystyle \gamma = 0 + \gamma = \beta + \gamma = 0 \). Ovvero sono indipendenti.
Ovviamente a livello di esame devi motivare il passaggio. Ma quello che ho detto io immagino sia sufficiente. Che siano due isomorfismi è banale.
Comunque puoi vedere che sono indipendenti abbastanza “a occhio”.
\(\displaystyle \alpha\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \gamma\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & 2\alpha + \beta \\ 3(\alpha + \beta) & \alpha + \beta + \gamma \\ 2(\beta + \gamma) & 0 \end{pmatrix} \)
Da quello si vede che si deve avere \(\displaystyle \alpha = 0 \), \(\displaystyle \beta = 0 + \beta = \alpha + \beta = 0 \) e \(\displaystyle \gamma = 0 + \gamma = \beta + \gamma = 0 \). Ovvero sono indipendenti.
Ah ok grazie mille vict 
il mio "problema" era quello di cercare di scrivere quel vettore matriciale come un vettore riga, quindi se ho un vettore scritto cosi
$ v1= ( (a, b) , (c, d) , (e, f) ) $ posso decidere se metterlo in riga secondo 2 configurazioni
$ v1= (a, b, c, d, e, f) $
o
$ v1= (a, c, e, b, d, f) $
il mio "problema" era quello di cercare di scrivere quel vettore matriciale come un vettore riga, quindi se ho un vettore scritto cosi$ v1= ( (a, b) , (c, d) , (e, f) ) $ posso decidere se metterlo in riga secondo 2 configurazioni
$ v1= (a, b, c, d, e, f) $
o
$ v1= (a, c, e, b, d, f) $
E molte altre. Queste sono solo le più utilizzate nella pratica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo