Vettori linearmente dipendenti/indipendenti

[abaco90]

Ciao a tutti, ho un problema con la definizione di vettori linearmente dipendenti/indipendenti.

Sono linearmente indipendenti quando dalla loro combinazione lineare = 0 ottengo x, y e z uguali a 0, cioè nulli.

La soluzione di una vecchia prova d'esame afferma che i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se il determinante della matrice della combinazione dei vettori è diverso da 0.

E fin qua va bene.

Consideriamo però un esempio.

Ho i vettori $v1 = (1, -3, 7); $ $v2 = (2, -1, -1); $ $v3 = (-4, 2, 2)$ e devo stabilire se sono linearmente dipendenti/indipendenti.

Procedo risolvendo la seguente matrice.
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 \\
-3 & -1 & 2 \\
7 & -1 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
con il metodo di Gauss ottengo $ x = 0;$ $ y = 0;$ $ z = 0$, dunque sono linearmente indipendenti.

Ora invece provo con il determinante; risparmiando tutto il procedimento che presumo sia corretto ottengo determinante = 0.
Questo significa che, stando a quanto scritto sopra, i vettori sono linearmente dipendenti.

Come è possibile che ottengo 2 cose diverse? Cosa c'è di sbagliato? Grazie!

[Fratix]

Utilizziamo Gauss:

$ ( ( 1 , 2 , -4 ),( -3 , -1 , 2 ),( 7 , -1 , 2 ) )*( (x),(y),(z) )=( (0),(0),(0) ) $

$ x*(1,2,-4)+ y*(-3,-1,2)+z*(7,-1,2)=(0,0,0) $
$ { ( x-3y+7z=0 ),( 2x-y-z=0 ),( -4x+2y+2z=0 ):} $

${ ( x=3y-7z),( y=3z ),( -4x+2y+2z=0 ):} $

${ ( x=2z),( y=3z ),( -8z+6z+2z=0 ):} $

${ ( x-3y+7z=0 ),( 2x-y-z=0 ),( -4x+2y+2z=0 ):} $

${ ( x=3y-7z),( y=3z ),( -4x+2y+2z=0 ):} $

${ ( x=2z),( y=3z ),( -8z+6z+2z=0 ):} $

${ ( x=2z),( y=3z ),( 0=0 ):} $

Questo ci dice che l'ultimo vettore è linearmente dipendente e quindi ininfluente al fine della risoluzione del sistema:

Utilizziamo il rango:

$ ( ( 1 , 2 , -4 ),( -3 , -1 , 2 ),( 7 , -1 , 2 ) ) $

Il determinante di questa matrice da subito appare = 0, poichè la 2 colonna e la 3 sono tra loro proporzionali.

$ det=( ( 1 , 2 , -4 ),( -3 , -1 , 2 ),( 7 , -1 , 2 ) ) $

$ = -2+28-12 -(28-2-12)=0 $

Quindi le tre colonne sono linearmente indipendenti. Il primo minore di ordine 2 in cui il deterinante è diverso da 0 è:

$ det( ( 1 , 2 ),( -3 , -1 ) )ne 0 $

Per cui si può concludere che i tre vettori sono linearmente indipendenti. In particolare:
$ -2(2,-1,-1)=(-4,2,2) $

[abaco90]

Ciao grazie della risposta, non capisco una cosa, come mai non va bene il sistema?

[Fratix]

Il sistema è corretto, esso anche ci conferma che i 3 vettori sono linearmente dipendenti poiché l'ultima equazione è indeterminata.